Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Используя основной закон динамики, можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.
Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей 
, а массу точки 
, получаем
. (128)
Из кинематики точки известно, что ускорение 
выражается через радиус-вектор 
(рис. 48):
.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
. (129)
Если спроецировать обе части уравнений (128) или (129) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.
В декартовой системе координат в общем случае
, 
, 
.
Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:
; 
, 
.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имею вид
, 
, 
. (130)
Две основные задачи динамики точки
Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки в той или другой системе координат, можно решать две основные задачи динамики точки.
Первая задача
Зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу. Действительно, если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат
, 
, 
,
то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки (130), т. е.
,
,
.
Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.
Таким образом, по заданной массе точки и уравнениям ее движения сила полностью определяется как по величине, так и по направлению.
Вторая задача
По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила , а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости, ускорения и т.д. Ограничимся случаем зависимости силы и ее проекций на оси координат от времени, координат и скорости. Дифференциальные уравнения движения точки (130) имею вид:
;
; (130')
.
Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных: 
.
Каждая из координат 
движущейся точки после интегрирования системы уравнений (130) зависит от времени t и всех шести произвольных постоянных, т.е.
;
; (131)
.
Если продифференцировать уравнения (131) по времени, то определяются проекции скорости точки на координатные оси:
;
; (132)
.
Для определения констант интегрирования надо задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий обычно задают так называемые начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при 
, задают координаты движущейся точки 
и проекции ее скорости 
:
, 
, 
; 
, 
, 
. (133)
Задачи интегрирования системы дифференциальных уравнений (130') при заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, получить его аналитическое решение удается лишь при определенной зависимости силы от времени, координаты 
и скорости 
. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (130'), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде 
называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (130').
Если из системы (130') удается найти три независимых первых интеграла, то задача интегрирования упрощается, так как вместо интегрирования системы дифференциальных уравнений второго порядка достаточно проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, которую представляют эти первые интегралы.