Постановка задачи динамического программирования. Графическая иллюстрация процесса решения

Постановка задачи межотраслевого баланса Леонтьева

Теоретическая часть.

Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на не- сколько отраслей, производящих определённые товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определённые ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики вы- ступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идёт на потребление в производящих отраслях, а другая её часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

- объём выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i=1,2,...,n;

- объём товаров и услуг i-го сектора, потребляемых в j-ом секторе;

- конечный продукт i-го сектора (объём продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

- количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс - это равенство объема выпуска каждого производящего сек- тора суммарному объёму его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношения баланса:

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид:

или, что то же самое,

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остаётся после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) – через Y, а структурную матрицу экономики – матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат – через A, то соотношение баланса в матричной форме имеют вид: (E-A)X=Y, где E – единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как . Матрица называется матрицей полных затрат.

Практическая часть.

Пусть задана модель экономики, в которой выделены четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства в качестве сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса (объёмы указаны в единицах стоимости):

Вычислим вектор выпуска для вектора конечного спроса Y=(100 150 120).

Решение задачи:

ORIGIN:=1 {Переменная ORIGIN содержит номер первой строки (столбца) матрицы или первого элемента вектора. По умолчанию ORIGIN:=0. Обычно же в математической записи используется нумерация с 1, поэтому определяем значение этой переменной равным 1.}

{Это матрица межотраслевого баланса, элементами которой являются количество товаров и услуг i-го сектора, потребляемое j-им сектором (i=1,2,3;j=1,2,3,4). Смотрите таблицу межотраслевого баланса.}

{Первоначальный вектор выпуска, заданный в таблице (общий выпуск).}

{Построение структурной матрицы формуле - количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).}

{Построение матрицы полных затрат по формуле , где единичная матрица 3-го порядка E=identity(3) – встроенная функция MathCAD. identity(n) n x n единичная матрица (матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны 0).}

{Новый вектор конечного спроса}

{Вычисление вектора выпуска при новом векторе конечного спроса по формуле }

Таким образом, при векторе конечного спроса вектор выпуска равен .