Геометрическая интерпретация решений дифференциальных

уравнений первого порядка.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru у a

b

A S

x

Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.

2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса уравнений. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

Рассмотрим некоторые из них.

Метод Эйлера.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

Известно, что уравнение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru y

M2

M1 M3

M0

y0 M4

0 x0 x1 x2 x3 x4 x

При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

Можно записать общую формулу вычислений:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru вместо значения

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Затем находится значение производной в точке Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , находят второе уточненное значение у1.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Затем третье:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.

Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

Метод Рунге – Кутта.

Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.

Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. (См. Формула Тейлора. )

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru .

В методе Рунге – Кутта приращения Dyi предлагается вычислять по формуле:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

где коэффициенты ki вычисляются по формулам:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

i xi k Dyi yi
      0,1000   0,1104  
0,1100
0,1105
0,1155
    0,1 0,1210   0,1325   1,1104
0,1321
0,1326
0,1443
    0,2 0,1443   0,1569   1,2429
0,1565
0,1571
0,1700
    0.3 0,1700   0,1840   1,3998
0,1835
0,1842
0,1984
    0,4 0,1984   0,2138   1,5838
0,2133
0,2140
0,2298
0,5   1,7976

Решим этот же пример методом Эйлера.

Применяем формулу Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

i
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1,1 1,22 1,362 1,528 1,721

Применим теперь уточненный метод Эйлера.

i
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1,1 1,243 1,400 1,585 1,799

Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.

Уравнение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Решение неоднородного уравнения имеет вид Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Общее решение: Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru C учетом начального условия: Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Частное решение: Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Для сравнения полученных результатов составим таблицу.

i xi yi
Метод Эйлера Уточненный метод Эйлера Метод Рунге - Кутта Точное значение
0,1 1,1 1,1 1,1104 1,1103
0,2 1,22 1,243 1,2429 1,2428
0,3 1,362 1,4 1,3998 1,3997
0,4 1,528 1,585 1,5838 1,5837
0,5 1,721 1,799 1,7976 1,7975

Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.

Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru удовлетворяет начальным условиям Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , если Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Определение. Нахождение решения уравнения Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , удовлетворяющего начальным условиям Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

Если функция (n-1) –й переменных вида Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , то какова бы не была точка ( Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru ) в этой области, существует единственное решение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru уравнения Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru , определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru .

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y(n) = f(x).

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

…………………………………………………………….

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Пример. Решить уравнение Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Подставим начальные условия:

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Получаем частное решение (решение задачи Коши): Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru .

Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных - student2.ru

Наши рекомендации