Прикладная информатика в экономике

Томск

ТУСУР

Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ в гр. 446-1-2 весной 2017 года.

Оглавление по темам

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ. 5

§1. Определения и основные методы. 5

§2. Интегрирование рациональных дробей. 11

§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений. 17

§4. Определённый интеграл и его приложения. 27

§5. Несобственный интеграл. 38

§6. Кратные интегралы. 46

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 60

§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 60

§ 2. Дифференциальные уравнения порядка n. 70

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения порядка n. 74

§ 4. Системы дифференциальных уравнений. 87

§ 5. Комплексные числа, их связь с дифф.уравнениями. 90

ГЛАВА 3. РЯДЫ. 104

§ 1. Числовые ряды. 104

§ 2. Функциональные ряды. 117

§ 3. Степенные ряды. 120

§ 4. Ряды Тейлора и Лорана. 126

§ 5. Ряды Фурье.

Оглавление по номерам лекций

Лекция 1. 14.02.2017 5 - 15

Лекция 2. 21.02.2017 16 - 26

Лекция 3. 28.02.2017 27 - 38

Лекция 4. 07.03.2017 38 - 49

Лекция 5. 14.03.2017 50 - 59

Лекция 6. 21.03.2017 60 - 69

Лекция 7. 28.03.2017 70 - 79

Лекция 8. 04.04.2017 79 - 89

Лекция 9. 11.04.2017 90 - 101

Лекция 10. 18.04.2017 102 -114

Лекция 11. 25.04.2017 115 -125

Лекция 12. 02.05.2017 126 -134

Лекция 13. 16.05.2017

Лекция 14. 23.05.2017

Лекция 15. 30.05.2017

Приложение 1.Вопросы на доказательства. 135

Приложение 2. Мелкие и устные вопросы на знание теории

(для коллоквиумов). 140

Приложение 3. Задачи из лекций. 144

ЛЕКЦИЯ № 1. 14. 02. 2017

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.

Определения и основные методы.

Определение. Если Прикладная информатика в экономике - student2.ru , то Прикладная информатика в экономике - student2.ru называется первообразной от функции Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Свойство.Если Прикладная информатика в экономике - student2.ru первообразная, то Прикладная информатика в экономике - student2.ru (для любого Прикладная информатика в экономике - student2.ru ) тоже является первообразной для той же самой функции Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Это легко доказать, действительно, Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график Прикладная информатика в экономике - student2.ru , снова будет первообразная.

Свойство.Если Прикладная информатика в экономике - student2.ru и Прикладная информатика в экономике - student2.ru две различные первообразные функции Прикладная информатика в экономике - student2.ru , то Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Доказывается так: Прикладная информатика в экономике - student2.ru , то есть Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции Прикладная информатика в экономике - student2.ru называется неопределённым интегралом этой функции.

Обозначение: Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Свойства линейности.

1. Прикладная информатика в экономике - student2.ru

2. Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Замечание.

Для произведения свойство Прикладная информатика в экономике - student2.ru не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например Прикладная информатика в экономике - student2.ru , Прикладная информатика в экономике - student2.ru . Тогда:

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru , в то же время

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Впрочем, можно даже рассмотреть Прикладная информатика в экономике - student2.ru произвольную, Прикладная информатика в экономике - student2.ru . Тогда Прикладная информатика в экономике - student2.ru ,

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Таблица основных интегралов.

Прикладная информатика в экономике - student2.ru Прикладная информатика в экономике - student2.ru ( Прикладная информатика в экономике - student2.ru )

Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Прикладная информатика в экономике - student2.ru Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Прикладная информатика в экономике - student2.ru Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Прикладная информатика в экономике - student2.ru Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Прикладная информатика в экономике - student2.ru ; Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Прикладная информатика в экономике - student2.ru Прикладная информатика в экономике - student2.ru

Объяснение причины возникновения модуля в Прикладная информатика в экономике - student2.ru . Функция Прикладная информатика в экономике - student2.ru существует только на правой полуоси, тогда как Прикладная информатика в экономике - student2.ru имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция Прикладная информатика в экономике - student2.ru является чётным продолжением Прикладная информатика в экономике - student2.ru на левую полуось, и именно она там является первообразной для Прикладная информатика в экономике - student2.ru при Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,

Пример. Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Когда сформировали выражение Прикладная информатика в экономике - student2.ru , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.

Аналогично, допустим, что мы помним, что Прикладная информатика в экономике - student2.ru . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа Прикладная информатика в экономике - student2.ru внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:

Пример. Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Тригонометрические преобразования:

Пример. Вычислить Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Решение. Применим формулу понижения степени.

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru =

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Пример. Вычислить Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Решение. Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru =

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Ответ. Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид Прикладная информатика в экономике - student2.ru , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через Прикладная информатика в экономике - student2.ru или Прикладная информатика в экономике - student2.ru . Делается замена на Прикладная информатика в экономике - student2.ru , только нужно не забыть пересчитать Прикладная информатика в экономике - student2.ru , потому что Прикладная информатика в экономике - student2.ru , если только замена не является простым линейным сдвигом Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Пример. Вычислить Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Решение. Сделаем замену Прикладная информатика в экономике - student2.ru , тогда Прикладная информатика в экономике - student2.ru , Прикладная информатика в экономике - student2.ru , Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Обратная замена: Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Более того, область определения исходной функции Прикладная информатика в экономике - student2.ru из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например Прикладная информатика в экономике - student2.ru и Прикладная информатика в экономике - student2.ru , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Если Прикладная информатика в экономике - student2.ru , тогда: Прикладная информатика в экономике - student2.ru , Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени Прикладная информатика в экономике - student2.ru :

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru ,

Прикладная информатика в экономике - student2.ru = Прикладная информатика в экономике - student2.ru .

Наши рекомендации