Решение алгебраических уравнений средствами MathCad
Рассмотрим применение программы MathCad, позволяющее находить корни уравнений.
Известно, что многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. Такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (точность задается значением системной переменной TOL).
Численное решение нелинейного уравнения
Для определения корней уравнения в Mathcad встроена специальная функция root. Она может быть вызвана как с двумя, так и с четырьмя аргументами.
1). Вызов функции root с двумя параметрами.
rооt (Выражение, Имя_переменной)
Эта функция возвращает значение переменной, при котором выражение дает 0. Результат может быть и комплексным. Функция реализует вычисления методом секущих.
Пример:
Решить уравнение cos(x)=sin(x)
Необходимо выполнить следующую последовательность действий:
-- Привести уравнение к виду: f(x)=0
cos(x) - sin(x) =0 (Равенство вводим сочетанием клавиш ‘Ctrl’+’=’)
-- Определить как функцию левую часть уравнения.
f(x) = cos(x) - sin(x)
-- Задать начальное приближение. Оно может быть известно из постановки задачи либо может быть получено из графика функции.
Пусть начальное приближение
-- Вызвать функцию root и получить:
-- Выполнить следующую проверку:
Значение результата f(r) функции мало, однако это не 0. Это объясняется тем, что поскольку реализуется итерационный алгоритм, то решение получается лишь с заданной точностью. Точность регулируется заданием системной переменной TOL (по умолчанию TOL=10-3). Перед вызовом функции значение TOL можно изменить, присвоив этой переменной новое значение, например:
Точность TOL можно определить также и в меню Math/Options.
При выводе результата отображается только три значащих цифры. Это можно отрегулировать в меню Format/Number/Displayed precision.
Полное решение данного примера с измененной точностью TOL представлено на листинге 4.
Листинг 4. Решение уравнения с измененной точностью вычислений и проверкой результата
2). Вызов функции root с четырьмя параметрами.
rооt (Выражение, Имя_переменной, Начало_отрезка, Конец_отрезка)
Третий и четвёртый параметры представляют собой отрезок на оси аргумента, в котором находится корень. Если корень единственен на этом отрезке, то значения функции на концах отрезка будут противоположных знаков. Например: x Î [2π; 5π/2]
Если на указанном отрезке корни отсутствуют или же их несколько, то будет выдано сообщение о том, что на концах отрезка знак у функции один и тот же. В случае, если корней на отрезке несколько, но требование разных знаков соблюдается, функция вернёт самый правый корень.
Задание №1
Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.
Таблица 1 – Варианты задания 1
Вариант | f(x) | Вариант | f(x) |
| 4sin x + x2 - 2=0 | sin x2+cos x2-10x=0 | |
| 3X-4.5x-5.6=0 | x2-ln(1+x)-3=0 | |
| 3 sin x +0.35x-8x=0 | 2xsin x – cosx=0 | |
| 0.25x2+x-1.25002=0 | lnx – x + 1.8=0 | |
| 0.1x2-xlnx=0 | 0.6 ×3x – 2.3x – 3=0 | |
| 3x - 4lnx-5=0 | 2x – 4x=0 | |
| ex - e –x -2=0 | 3x – ex + 4=0 | |
| ex + lnx – 10x=0 | (x - 1)2 - 0.5exp( - x) – 2=0 |