Подведение под знак дифференциала
по существу равносильно применению свойства 5 независимости интеграла от переменной интегрирования. Суть в том, чтобы в интеграле перейти к другой переменной (t), относительно которой интеграл становится табличным.
Примеры.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем после нахождения du и v используется формула интегрирования по частям:
Пример 1. Найти =
= .
При выборе обозначения сомножителей обычно за dv выбирают сомножитель, который легко интегрировать, оставшиеся сомножители обозначают за u.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
Пусть Р(х) – многочлен, k – число.
1) В интегралах вида:
обозначим:
за u = P(x), за dv - остальные множители.
2) В интегралах вида:
; ; ;
обозначим:
dv = P(x)dx, u - остальные множители.
3) В интегралах вида:
,
где a и b - числа
обозначим:
u = еах, dv - остальные множители.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение.
Пример 3. Найти интеграл .
Решение.
Пример 4. Найти интеграл .
Решение.
.
;
;
.
Интегрирование различных классов функций.
Интегрирование рациональных функций
А) Простейшими дробями называются следующие дроби: (пусть А, В, a, k – числа )
(I типа),
(II типа, если k > 1 – целое),
(III типа, если D= b2 – 4ac < 0),
(IV типа, если k > 1, D < 0).
Б) Рациональной функцией (дробью)
называется отношение двух многочленов
;
если n < m, то дробь называется правильной,
если n > m, то дробь называется неправильной.
Теорема.Каждая неправильная рациональная дробь равна сумме многочлена и правильной дроби.
= f(x) +
Пример. Разложить на простейшие дроби неправильную рациональную дробь .
РЕШЕНИЕ. Выделим целую часть делением числителя на знаменатель:
Теорема. Правильная рациональная дробь представляется единственным образом в виде суммы простейших дробей.
● Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей выполним по правилам:
1) если в знаменателе рациональной дроби различные действительные корни, то
.
2) если в знаменателе рациональной дроби п одинаковых действительных корней, то
.
3) если в знаменателе рациональной дроби комплексные корни (D < 0), то
.
Неизвестные коэффициенты числителей (А, В, ...) вычисляются методом неопределенных коэффициентов.
Пример. Найти интегралы.
а) ; б) .
Решение.
а) =
Выполним разложение дроби на простые дроби:
= ;
Приравниваем числители дробей левой и правой частей равенства.
* 3х2 + 2х – 3 = А(х2 – 1) + В(х2 + х) + С(х2 – х)
Приравниваем коэффициенты равенства (*) при одинаковых степенях:
→
2В = 2, В = 1, С = – 1.
= ;
.
б) Решение.
=
Разложим на простейшие дроби:
= ;
* х – 4 = А(х – 3) + В(х –2 ;
Подставим корни знаменателя в равенство *
если х = 2, то 2 – 4 = А(2 – 3) + В(2 –2 );
– 2 = – А; А = 2;
если х = 3, то 3 – 4 = А(3 – 3) + В(3 –2 );
– 1 = В; В = – 1.
.
Примеры: