Криволинейные интегралы второго типа

Рис. 18

Пусть в некоторой области (D) дана спрямляемая, гладкая кривая с началом в точке A и концом в точке B (рис. 18) и вдоль этой кривой определена непрерывная функция z = f(x,y), т.е. каждой точке кривой поставлено в соответствие определенное значение функции. Разобьем данную кривую произвольным образом на n частей точками . На каждой из частичных дуг выберем произвольную

точку и вычислим значение функции в каждой такой точке. Обозначим через проекцию частичной дуги на ось Ox и составим сумму

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) по координате x. Обозначим наибольшую из проекций частичных дуг на ось Ox через λ: .

Определение.

Если существует предел интегральных сумм при , который не зависит ни от способа разбиения кривой (АВ) на части, ни от выбора точек на элементарных участках, то этот предел называется криволинейным интегралом по координате x функции z=f(x,y) по дуге (АВ) и обозначается:

Аналогично вводится понятие криволинейного интеграла для функции z=f(x,y) по координате y:

.

Если на кривой (AB) заданы две функции z=P(x,y) и z=Q(x,y) и существуют интегралы и , то их сумма + называется криволинейным интегралом по координатам по кривой (AB) и обозначается:

.

Основные свойства криволинейного интеграла второго типа.

1. Ориентированность: знак криволинейного интеграла изменится на противоположный, если изменить направление интегрирования, т.е.

.

2. Если кривую (L), по которой производится интегрирование, разбить на несколько частей (L₁), (L₂),…,(L_n), то криволинейный интеграл по кривой (L) будет равен сумме криволинейных интегралов по отдельным ее частям, взятых в том же направлении:

3. Если контур (L) – замкнутый, то величина криволинейного

Рис. 19

интеграла по этому контуру не зависит от того, какую точку на контуре при интегрировании принять за начальную:

.

4. Если область (D), ограниченную замкнутым контуром (L) разбить на 2 области (D₁) и (D₂), то криволинейный интеграл по (L) в некотором направлении будет равен сумме криволинейных интегралов по контурам (L₁) (L₂), ограничивающим соответственно области , взятых в том же направлении:

Рис. 20

.

Вычисление криволинейных интегралов второго типа.

Криволинейный интеграл первого типа можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу.

1. Пусть кривая (L) задана параметрически , причем функции непрерывны вместе со своими производными, а при изменении t от α до β соответствующая точка (x,y) пробегает кривую (L) от точки A (при t = α) до точки B (при t = β). Тогда

.

2. Пусть теперь кривая (L) задана уравнением , а функция непрерывна вместе со своей производной. Тогда, считая параметром переменную x, получаем:

,

причем точка А имеет координаты (a,f(a)), а B (b,f(b)). Пути интегрирования с началом в точке А и концом в точке В могут быть различными. В общем случае значение криволинейного интеграла второго типа зависит от выбранного пути интегрирования.

Особый интерес представляет случай вычисления криволинейного интеграла второго типа, когда путь интегрирования (L) имеет вид, изображенный на рис. 21 и 22.

Рис. 21

Рис. 22

,

.

Если начало и конец пути интегрирования совпадают, то говорят о криволинейном интеграле по замкнутому контуру.

Пример 15. Вычислить криволинейный интеграл от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) по прямой .

Решение.

Рис. 23

Отметим на чертеже точки А и В и линию интегрирования (рис. 23). Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной x, затем вычислим его. Для этого выразим из уравнения переменную y и найдем dy: . Учитывая, что при движении от точки А до точки В по прямой переменная x

изменяется от 1 до 0, получим:

.

Ответ. 1.

Пример 16. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) – верхняя половина эллипса . Интегрировать в направлении против хода часовой стрелки.

Решение.

Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, а затем вычислим его. Из уравнения эллипса в параметрической форме , найдем , . По условию задачи t изменяется от 0 до π. Тогда

.

Ответ. – 48.