Симметричные и антисимметричные тензоры

Определение. Тензор 2-го ранга Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru называется симметричным, если он совпадает с транспонированным тензором Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru . В координатах это запишется так:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , или Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (77)

Определение. Тензор 2-го ранга называется антисимметричным, если Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , или Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (78)

Докажем, что свойства симметричности и антисимметричности не зависят от системы координат. Для симметричного тензора это означает, что если в одной системе координат справедливо (77), то оно остается справедливым и в любой другой системе. Имеем при переходе к новой системе:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (79)

Свойство антисимметричности (78) также инвариантно относительно преобразования системы координат:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (80)

Матрица симметричного тензора в любой системе координат симметрична, т.е. элементы ее, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .

Матрица антисимметричного тензора в любой системе координат антисимметрична, т.е. элементы ее, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Элементы же, стоящие на главной диагонали, равны нулю, поскольку, например, Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , а это может быть только, если Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru . Аналогично и для остальных диагональных элементов. Матрица антисимметричного тензора, таким образом, имеет вид:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru

В силу всего сказанного симметричный тензор Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru определяется не девятью, а шестью компонентами Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , а антисимметричный тензор Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru – тремя компонентами Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .

Рассмотрим тождество:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (81)

Первый член в правой части является симметричным тензором, а второй – антисимметричным (докажите это самостоятельно). Следовательно, любой тензор 2-го ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Это разложение единственно. В бескоординатной записи равенство (81) принимает вид: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (82)

Симметричная часть тензора обозначается через Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , антисимметричная – через Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , т.е.

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (83)

и Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (84)

Задачи.

Задача 8. Как преобразуются компоненты тензора 2-го ранга, если система координат подвергается преобразованию, описанному в задаче 1 параграфа 8?

Решение. Исходим из формулы (70):

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (85)

Матрица преобразования системы координат определена в (52). Имеем:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru ,

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru ,

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru ,

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru ,

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .

На этом примере, в частности, легко убедиться, что свойство симметричности и антисимметричности присуще самому тензору и не зависит от системы координат.

Задача 9. Найти компоненты симметричного тензора в системе координат, получающейся с помощью преобразования, описанного в задаче 2 параграфа 8.

Решение. По формуле (85), используя матрицу преобразования (53) и симметричного тензора, получаем:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (86)

В частности, если в старой системе координат матрица тензора была диагональной

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , (87)

то в новой системе:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (88)

Эти формулы обычно записывают в таком виде:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (89)

Матрица тензора в новой системе координат будет иметь вид:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (90)

Из (88)-(90) видно, что компонента тензора Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru при вращении системы координат вокруг оси Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru остается неизменной. Формулы (89), (90) нам встретятся еще в дальнейшем.

Задача 10. Необходимо повернуть тензор: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru вокруг оси Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru так, чтобы компонента 22 стала равной нулю. Найти два возможных угла поворота, меньших 90 градусов.

Решение. Из (86) находим, что компонента 22 преобразуется по формуле: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru . Поскольку Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru должно быть равно нулю, то, подставляя Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , получаем уравнение: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru или Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .

Решая его, получим: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru . Отсюда Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru . Следовательно, необходимый поворот системы координат можно осуществить двумя способами: повернуть вокруг оси Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru в положительном направлении на угол Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (рис. 8а) или в отрицательном направлении на угол Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (рисунок 8б).

Рис. 8б)
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Рис.8а) 8.8а)
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru

Задача 11. Тензор электропроводности некоторого кристалла Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru имеет следующие компоненты в системе Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (91)

Определить значение компонент тензора в системе координат, полученной с помощью преобразования, описанного в задаче 1 §8.

Решение. Исходим из формулы (85) и матрицы преобразования (52):

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru ,

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru
 
Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru

Подставляя значения «старых» компонент тензора Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru из матрицы (91), получим в новой системе: Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .
В новой системе координат тензор электропроводности Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru стал диагональным. Забегая вперед, скажем, что оси координат, в которых матрица тензора приобретает диагональный вид, называются главными осями. Подробнее об этом будет говориться ниже.

Задача 12. Доказать, что тензоры Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru и Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru симметричен и антисимметричен соответственно.

Решение. Тензор Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru – симметричная часть тензора Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru определяется первой формулой в (83). Переставив в ней индексы Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru и Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , получим:

Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru (83)

Тензор Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru – антисимметричная часть тензора Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru – определяется второй формулой в (83). Переставляя в ней индексы Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru и Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru , получим Симметричные и антисимметричные тензоры - student2.ru .

Наши рекомендации