Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
(9)
Если все диагональные элементы 
, то систему (1) можно представить в приведенном виде
(10)
где 
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(11)
В качестве начального приближения 
возьмем вектор b и подставим его в уравнение (11). Получим 
.Продолжая процесс, получим последовательности приближений:
- первое приближение
-второе приближение (12)
. . . . . . . . .
- (k+1)-ое приближение.
Если существует предел x последовательности векторов 
то, переходя к пределу в равенстве при 
, убеждаемся, что x является решением уравнения (11), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: 
, то уравнение (11) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (12) при любом выборе начального приближения.
Под нормойматрицы 
понимают следующие выражения:
(m-норма) сумма модулей элементов строки
(l-норма) сумма модулей элементов столбца
(k-норма)
Пример: для матрицы 
В расчетах полагают 
. Погрешности приближенного решения уравнения (11) на k-ом шаге оценивают неравенством
, (13)
где 
- норма вектора X
m-норма или кубическая норма
l-норма или октаэдрическая норма
Введем обозначения
Тогда система (2) запишется в виде
(11)
В качестве начального приближения возьмем вектор b и подставим его в уравнение (11). Получим .Продолжая процесс, получим последовательности приближений:
- первое приближение
-второе приближение (12)
. . . . . . . . .
- (k+1)-ое приближение.
Если существует предел x последовательности векторов то, переходя к пределу в равенстве при , убеждаемся, что x является решением уравнения (11), т.е.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Если какая-нибудь норма матрицы А меньше единицы: , то уравнение (11) имеет единственное решение x, к которому стремится последовательность итераций (12) при любом выборе начального приближения.
Рис. 2.1 Блок-схема решения системы линейных алгебраических уравнений
Под нормойматрицы понимают следующие выражения:
(m-норма) сумма модулей элементов строки
(l-норма) сумма модулей элементов столбца
(k-норма)
Пример: для матрицы
В расчетах полагают . Погрешности приближенного решения уравнения (11) на k-ом шаге оценивают неравенством
, (13)
где - норма вектора X
m-норма или кубическая норма
l-норма или октаэдрическая норма
k-норма или сферическая норма.
Из неравенства (13) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности e.
Отклонение приближения от решения x по норме не будет превышать e, если
(14)
Для вывода (14) достаточно рассмотреть равенства:
; 
; 
;
;
; и т.д.
Далее 
.
И учитывая, что 
, т.к. норма 
.
В неравенствах (13) и (14) используются согласованные нормы для матриц и векторов, т.е. m и l-нормы.
Неравенство (14) дает завышенную оценку числа итераций k. Из (14) можно получить удобное условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью e.
(15)
Пример:Найти решение системы уравнений
методом итераций с точностью 10-2.
Решение:Приведем систему к виду (10)
Запишем последовательность итераций
(16)
Для приведенной матрицы 
достаточное условие ходимости выполняется по m-норме:
В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы 
.
Число итераций для достижения заданной точности 
определяем из неравенства (13) 
, которое запишем так:
, действительно: 
.
; 
т.к. 
то 
; 
.
Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (15) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (13) в виде:
. 
Первое приближение:
Следовательно, 
дает значение корня ξ с погрешностью, не превышающей величины 
.
Далее последовательно находим:
; 
Третья итерация:
; 
Заданная точность достигается за 5 шагов. Точное решение 
.
Ниже приведена блок – схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.
 | |||||
 | |||||
 |
 |  | |||||||
 | ||||||||
 | ||||||||
|
Лабораторная работа 2