Правила проверки гипотез

Можно проверять гипотезу на основе любой статистики, имеющей любое вероятностное распределение. Можно указать основные случаи: выборочная статистика подчиняются либо нормальному распределению, либо распределению Стьюдента, либо F-распределению, либо Правила проверки гипотез - student2.ru 2-распределению.

Проверка на основе нормального распределения используется для проверки среднего значения выборки как оценки генеральной средней. Критерий применяется при любом размере выборочной совокупности, когда дисперсия генеральной совокупности известна.

Распределение Стьюдента(t-критерий) используется для проверки гипотезы о среднем значении при любом объеме выборки при неизвестной генеральной дисперсии. При больших выборках это распределение приближается к нормальному распределению.

F-критерий используется для сравнения генеральных дисперсий. Размер выборки может быть любым при условии, что выборка взята из генеральной совокупности.

Критерий Правила проверки гипотез - student2.ru 2 – непараметрический, т.е. значения выборочной статистики не требуются. Этот критерий основан на частоте появления значений случайных переменных. Используется для проверки гипотезы связи между переменными или о согласии наблюдаемого распределения с некоторым стандартным распределением.

1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

Рассмотрим достаточно большие независимые выборки. Пусть Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru – объемы больших ( Правила проверки гипотез - student2.ru ) независимых выборок, по которым найдены выборочные средние Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru Генеральные дисперсии Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru известны.

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Правила проверки гипотез - student2.ru .

По таблице (см. Приложение 1), зная значение функции Лапласа Правила проверки гипотез - student2.ru , найдем критическую точку Правила проверки гипотез - student2.ru .

Если Правила проверки гипотез - student2.ru - нет оснований отвергать гипотезу Правила проверки гипотез - student2.ru , в противном случае – нулевую гипотезу отвергаем.

Другой вариант формулировки гипотез:

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Критическую точку Правила проверки гипотез - student2.ru находим, зная значение функции Лапласа Правила проверки гипотез - student2.ru .

Если Правила проверки гипотез - student2.ru – нет оснований отвергать Правила проверки гипотез - student2.ru , если неравенство другого знака, то Правила проверки гипотез - student2.ru отвергаем.

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Находим значение Правила проверки гипотез - student2.ru так же, как в предыдущем пункте.

Если Правила проверки гипотез - student2.ru – нет оснований отвергать Правила проверки гипотез - student2.ru , если неравенство другого знака – Правила проверки гипотез - student2.ru отвергаем.

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаются случаи, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках.

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru . Генеральные дисперсии известны: Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru . Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru при конкурирующей гипотезе Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru .

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Правила проверки гипотез - student2.ru .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , Правила проверки гипотез - student2.ru поэтому критическая область – двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

Правила проверки гипотез - student2.ru

По таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) находим Правила проверки гипотез - student2.ru .

Т.к. Правила проверки гипотез - student2.ru , то в соответствии с теорией нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

2. Сравнение двух средних нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

Пусть Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru объемы малых независимых выборок ( Правила проверки гипотез - student2.ru ), по которым найдены Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru и исправленные выборочные дисперсии Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru . Генеральные дисперсии хоть и неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Уровень значимости задан.

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Для проверки нулевой гипотезы в этом случае можно использовать критерий Стьюдента сравнения средних. Величину критерия находим по формуле:

Правила проверки гипотез - student2.ru .

Доказано, что величина Правила проверки гипотез - student2.ru при справедливости нулевой гипотезы имеет Правила проверки гипотез - student2.ru -распределение Стьюдента с Правила проверки гипотез - student2.ru степенями свободы (см. Приложение 3).

По таблице находим Правила проверки гипотез - student2.ru .

Сравниваем Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru , то принимаем Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru , то гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru отвергается и принимается Правила проверки гипотез - student2.ru и различие достоверно.

Другой вариант формулировки гипотез:

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

По таблице по уровню Правила проверки гипотез - student2.ru , по Правила проверки гипотез - student2.ru находим Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru , то нет оснований отвергать Правила проверки гипотез - student2.ru . В противном случае – Правила проверки гипотез - student2.ru отвергаем.

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

По таблице находим Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru – нет оснований отвергнуть Правила проверки гипотез - student2.ru , в противном случае – Правила проверки гипотез - student2.ru отвергаем.

  1. Проверка гипотез для дисперсий.

Пусть генеральные совокупности Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru распределены нормально. По независимым выборкам объемов Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru . Требуется сравнить эти дисперсии. При заданном уровне значимости Правила проверки гипотез - student2.ru надо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

Гипотеза Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий используем случайную величину Правила проверки гипотез - student2.ru , равную отношению большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей Правила проверки гипотез - student2.ru .

Величина Правила проверки гипотез - student2.ru , при условии справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Фишера - Снедекора со степенями свободы Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru , где Правила проверки гипотез - student2.ru - объем выборки, по которой вычислена большая выборочная дисперсия.

Из таблиц (см. Приложение 4) находим Правила проверки гипотез - student2.ru . Сравниваем Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru , то принимаем нулевую гипотезу, генеральные дисперсии различаются незначимо.

Пример 2. По двум независимым малым выборкам, объемы которых Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru , найдены выборочные средние: Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru и исправленные дисперсии Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru при конкурирующей гипотезе Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru .

Решение. Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера - Снедекора.

Найдем отношение большей дисперсии к меньшей: Правила проверки гипотез - student2.ru . Дисперсия Правила проверки гипотез - student2.ru значительно больше дисперсии Правила проверки гипотез - student2.ru , поэтому в качестве конкурирующей гипотезы примем гипотезу Правила проверки гипотез - student2.ru : Правила проверки гипотез - student2.ru . В этом случае критическая область – правосторонняя. По таблице приложений по уровню значимости Правила проверки гипотез - student2.ru и числам степеней свободы Правила проверки гипотез - student2.ru и Правила проверки гипотез - student2.ru находим критическую точку Правила проверки гипотез - student2.ru .

Т.к. Правила проверки гипотез - student2.ru – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий.

Предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента Правила проверки гипотез - student2.ru .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Правила проверки гипотез - student2.ru , поэтому критическая область – двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы Правила проверки гипотез - student2.ru находим по таблице Приложения 3 критическую точку Правила проверки гипотез - student2.ru .

Т.к. Правила проверки гипотез - student2.ru – нулевую гипотезу о равенстве средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

  1. Проверка гипотез о законах распределения.

Во многих практических задачах закон распределения случайных величин заранее неизвестен, и надо выбрать модель, согласующуюся с результатами наблюдений.

Выдвигают нулевую гипотезу Правила проверки гипотез - student2.ru : неизвестная функция распределения Правила проверки гипотез - student2.ru есть функция распределения некоторого теоретического закона Правила проверки гипотез - student2.ru , например, нормального, или экспоненциального, или биномиального. Это определяется сущностью изучаемого явления, а также результатами предварительной обработки наблюдений: формой графика распределения, соотношениями между выборочными данными.

Выдвигается альтернативная гипотеза, что данная генеральная совокупность не распределена по закону Правила проверки гипотез - student2.ru .

Задается уровень значимости, например Правила проверки гипотез - student2.ru .

Если хотим проверить, согласуются ли эмпирические данные с нашим гипотетическим предположением относительно теоретической функции распределения или нет, то используем критерий согласия.

Критерии согласия строятся на основе выбора некоторой статистики, характеризующей отклонение эмпирических данных от данных, соответствующих гипотезе Правила проверки гипотез - student2.ru . Одним из наиболее известных таких критериев является критерий Правила проверки гипотез - student2.ru - Пирсона.

Критерий Правила проверки гипотез - student2.ru - Пирсона

Критерий Правила проверки гипотез - student2.ruприменяют для проверки гипотезы Правила проверки гипотез - student2.ru о том, что случайная величина Правила проверки гипотез - student2.ru подчинена закону распределения Правила проверки гипотез - student2.ru , по выборке Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru . По выборке Правила проверки гипотез - student2.ru строят функцию распределения случайной величины Правила проверки гипотез - student2.ru .

Для этого область изменения значений случайной величины Правила проверки гипотез - student2.ru разбивают на интервалы Правила проверки гипотез - student2.ru , Правила проверки гипотез - student2.ru , и определяют частоту попадания значений случайной величины в каждый интервал Правила проверки гипотез - student2.ru , а также теоретическую вероятность Правила проверки гипотез - student2.ru . Затем вычисляют значение случайной величины

Правила проверки гипотез - student2.ru ,

которая распределена по закону Правила проверки гипотез - student2.ruс Правила проверки гипотез - student2.ru степенями свободы.

При помощи таблиц находят границу критической области Правила проверки гипотез - student2.ru при уровне значимости Правила проверки гипотез - student2.ru . Если Правила проверки гипотез - student2.ru , то принимается решение о справедливости основной гипотезы, в противном случае принимается решение о справедливости альтернативы.

Наши рекомендации