Предел функции в точке

Определение: Последовательностью называется функция натурального аргумента , , ,…, ,…, ,… . Причем если , то следует за , независимо от того, больше он его или меньше.

Последовательность чисел называется сходящейся к числу , если для любого положительного, сколь угодно малого числа (эпсилон) найдется такой номер , что для всех номеров будет выполняться неравенство . Пишут .

Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что за пределами – окрестности точки находится лишь конечное число членов последовательности , а внутри этой окрестности находится бесконечное множество членов последовательности и при число будет сгустком точек, соответствующих членам последовательности.

Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число (дельта), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство .

Пишут .

Теоремы о пределах функций: если существует и , то

1) ;

2) ;

3) ;

4) при .

При вычислении пределов используются два замечательных предела:

1) (первый замечательный предел);

2) (второй замечательный предел).

Определение: Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Определение: Функция называется бесконечно большой в точке , если .

Теорема: Если – бесконечно большая функция, то – бесконечно малая функция. Если – бесконечно малая и – бесконечно малая функция в точке и , то и эквивалентны. Пишут ~ .

Примеры. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) . Разделим числитель и знаменатель на высшую степень х, т. е. на , ;

б) . Выделим в знаменателе дроби критический множитель : ;

в) ;

г)

= .

Определение: Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в точке , равный значению функции в точке , т. е. .

Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства:

(*)

Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке .

Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке . Разность между правым и левым пределами называется скачком.

Определение: Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.

Определение: Точка называется точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке .

Пример. Исследовать функцию на непрерывность и построить график:

.

Решение: Функция является непрерывной на каждом из промежутков, поэтому подозрительными на разрыв являются точки и . Исследуем каждую точку.

1) . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при

,

значение функции в точке равно: . Следовательно, в точке функция является непрерывной, так как .

2)

.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода.

Скачок равен .

Определение: Пусть функция задана на некотором множестве . Зафиксируем значение аргумента и придадим ему приращение , не выводящее значение аргумента за пределы множества , т. е. . Тогда соответствующее приращение получит и сама функция, которое равно разности нового и старого значений функции: . Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке . Пишут , или . (6)

Если существует во всех точках множества , то является функцией от .

Таблица производных основных элементарных функций

Если является дифференцируемой, то выполняются равенства:

1. где

2. где

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. .

Основные правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Если и , т. е. , то , где и и φ – дифференцируемы.

8. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция , то .

Задача. Найти производную функции

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение:

1)

поэтому по формуле (8) (см. таблицу производных)

.

2)

3)

.

4)

Определение: Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т. е. . Обозначают .

Определение: Производной n-го порядка функции называют производную от производной (n – 1)-го порядка данной функции. Обозначают .