Исследование затухающих и вынужденных

КОЛЕБАНИЙ

Цель работы:изучение затухающих колебаний физического маятника и вынужденных колебаний математического маятника.

Упражнение 1

Определение периода колебаний, коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и приведенной длины

физического маятника

I. Описание установки.

Прибор представляет собой комбинацию маятников: физического маятника «M» и связанного с ним маятника «m», который можно считать «математическим».

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru

Рис. 4.1. Схема установки с физическим и математическим маятниками

Длина математического маятника считается от вилки «B» (рис. 4.1) до середины шарика «m». Она изменяется путем перемещения нити и фиксируется на масштабной линейке L1 ползунком «D».

Амплитуды колебаний физического и математического маятников определяются соответственно по шкалам L2 и L3 (амплитуды измеряются в угловых единицах).

II. Методика работы

Физическим маятником называют тело, которое может свободно вращаться вокруг оси О, не проходящей через центр тяжести тела С (рис.4.2).

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru

Рис.4.2

В положении равновесия центр тяжести расположен по вертикали под осью. Если мы теперь отклоним маятник на угол α, то возникает вращающий момент силы тяжести

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.1)

где m – масса маятника , кг

g = 9,81 м/с2 – ускорение силы тяжести;

l – расстояние от центра тяжести С до О, м.

Маятник начнет двигаться под действием этого момента.

Если затухания нет (b = 0), то выражение для периода незатухающих колебаний

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.2)

Частным случаем физического маятника является математический маятник – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити. В этом случае момент инерции исследование затухающих и вынужденных - student2.ru и период определяется по формуле

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.3)

Для описания колебаний физического маятника часто пользуются понятием приведенной длины исследование затухающих и вынужденных - student2.ru маятника. Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний. Из формул (4.2) и (4.3) следует

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.4)

При движении на маятник будет действовать тормозящий момент сил сопротивления воздуха и трения в опорах. Опыт показывает, что тормозящий момент сил можно приближенно считать пропорциональным угловой скорости w маятника

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru , (4.5)

где r – коэффициент сопротивления.

Основное уравнение динамики для маятника имеет вид

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.6)

где J – момент инерции.

При малых колебаниях (a <<1), sin α @ α и уравнение (4.6) принимает вид:

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.7)

где

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru (4.8)

Зависимость угла α от времени будет такой же, как в уравнении (II.6), то есть маятник будет совершать затухающие колебания, период которых определяется формулой (II.9).

Если прологарифмировать отношение измеренных начальной и конечной амплитуд, то с учетом (II.7) получим:

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru , (4.9)

тогда

исследование затухающих и вынужденных - student2.ru , (4.10)

где τ – время измерения, за которое амплитуда уменьшилась до Аt .

Наши рекомендации