Оставляя измеренные углы сферического треугольника неизменными, его стороны исправляются небольшими добавками – аддитаменти

Выражения для аддитаментов получаем следующим образом. Принимая, что мы имеем дело с малым треугольником, у которого стороны значительно меньше радиуса земного шара, теорему синусов для сферического треугольника представим в виде соотношений:

В sin(a/R) / sinA = sin(b/R) / sinB = sin(c/R) / sinC.

с а По малости сторон, ограничиваясь только двумя b С первыми двумя членами разложения синуса в ряд, получим, например, для стороны “а”:

sin a/R_ср. = (a /R_cр.– a³ / 6R³ _ср.).

Сократив в соотношениях синусов на R и обозначив 1/ 6R²_ср. = к .

получим аддитаменты: А_а=ка³, А _b=кb³ , А_с =кс³. Тогда стороны плоского треугольника будут выражаются как а¹= а - А_а , b¹ = b – A_b , c¹= c – A_c..

Таким образом, если знать стороны плоского треугольника, то стороны сферического треугольника получаем как

а = а¹ + А_а , b = b¹ + A_b , c= c¹ + A_c.

В геодезии значение одной из сторон треугольника всегда можно определить по измеренным углам и исходной стороне. Поэтому технологическая цепочка решения треугольника способом аддитаментов состоит из следующих операций:

1) определяется значение невязки сферического треугольника как

W = А+В+С – (180⁰ + ε),

где ε – сферический избыток, вычисляемый как ε” = f ab sinC или, если известна только одна сторона, как ε” = f a² sinB sin C / sin A.

где f = ρ” / 2R^2. - слабопеременная функция широты и при сторонах

треугольника и радиуса R_ср. в км, в пределах РФ можно принять равной

f =0,00253.

2) невязка W распределяется по измеренным сферическим углам треугольника поровну.

3) вычисляют значение аддитамента исходной стороны и получают ее значение на плоскости. Коэффициент “к” для территории всей России принимают равным к = 409_*10^-8 ( выражая стороны треугольника в километрах, значения аддитаментов ка³, кb³, кс³ получают в метрах).

4) по теореме синусов для плоских треугольников по плоской исходной стороне находят значения остальных двух плоских сторон треугольника и вычисляют их аддитаменты.

5) находят значения искомых сферические сторон путем введения добавок в их вычисленные плоские значения.

Решение треугольника с использованием

Теоремы Лежандра

В 1787 г. известный математик Лежандр доказал теорему, которая гласит, что если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Углы А¹ = A – ε/3, B¹ = B - ε/3, C¹ = C - ε/3 называют плоскими приведенными углами.

Для равносторонних треугольников имеем:

при s, км 10 20 30 60 111

ε”/3 0,08 0,33 0,7 2,7 9,0

Получив приведенные углы, в дальнейшем треугольники решают как плоские и, с использованием в качестве исходной сферическую сторону, получают остальные две стороны также сферическими.

Решение треугольников целесообразно выполнять в виде таблиц.

Возможный вариант решение большого треугольника представлен, например, в “Практикуме по высшей геодезии”.