Наибольший общий делитель двух многочленов

Многочлен R(x) называется общим делителем для многочленов P(x) и Q(x), если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Согласно свойству (4) общими делителями произвольных многочленовP(x) и Q(x) будут все многочлены нулевой степени (т.е. все действительные числа за исключением числа 0). Если других общих делителей два многочлена не имеют, то эти многочлены называются взаимно простыми.

Наибольшим общим делителем многочленов P(x) и Q(x) называется такой многочлен D(x), который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой общий делитель этих многочленов.

Если D(x) является наибольшим общим делителем многочленов P(x) и Q(x), то наибольшим общим делителем этих многочленов будет и многочлен cD(x), где c - произвольное число, отличное от нуля, т.е. наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до постоянного множителя. Чтобы добиться полной однозначности в определении наибольшего общего делителя двух многочленов, обычно выставляют следующее условие: из всех многочленов cD(x) наибольшим общим делителем называется тот, у которого старший коэффициент равен единице.

Теперь можно сказать, что два многочлена являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x)

Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

Тогда Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

1.16

Схема Горнера

Если Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид

Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

где Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru Остаток r находится по формуле Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

1.17

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru над полем комплексных чисел имеет в нём ровно Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru корней, с учётом кратности корней.

Доказательство.

У многочлена Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru есть корень Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru , значит, по теореме Безу, он представим в виде Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru , где Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru — другой многочлен. Применим теорему к Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru не окажется линейный множитель.

Доказательство.

Представим полином Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru в виде суммы Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru , где Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru , Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru . Составим соотношение Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru . Легко видеть, что для любых коэффициентов Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru всегда найдется такое значение Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru , что для всех значений Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru имеет место неравенство Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru . В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru в круге Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru равно числу нулей в этом круге функции Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru . Но функция Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru . Отсюда, в силу произвольности Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru и следует утверждение теоремы.

Формулы Виета

Если Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru и Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru - корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:

Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

В частности, при Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru при Наибольший общий делитель двух многочленов - student2.ru

1.18

Наши рекомендации