Передаточная функция неизменяемой части известна

Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю строго меньше единицы или, что тоже самое, лежали внутри круга единичного радиуса.

Исследовать устойчивость дискретной системы путем определения корней характеристического уравнения неудобно и непродуктивно с точки зрения определения путей стабилизации системы. Желательно, как и ранее, иметь критерии устойчивости, позволяющие оценивать устойчивость без нахождения полюсов системы, определять запасы устойчивости, вычислять критические значения параметров и т.д. Критерии устойчивости, разработанные для дискретных систем, сложны и неудобны в использовании. Поэтому практическое применение нашли методы, полученные для непрерывных систем, которые можно использовать после преобразования передаточной функции дискретной системы, которое осуществляется подстановкой

(8.12)

Выражение (8.12) определяет так называемое билинейное преобразование, которое отображает внутренность единичного круга на плоскости z в левую полуплоскость плоскости w.

Для преобразованного характеристического уравнения условием устойчивости является нахождение всех его корней в левой полуплоскости. Поэтому после билинейного преобразования для оценки устойчивости дискретной системы можно использовать все критерии, разработанные для непрерывных систем.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана выражением

Требуется:

1) для значения k=0.3 оценить устойчивость замкнутой системы;

2) определить критическое значение коэффициента усиления.

Для решения поставленных задач используем критерий Гурвица. Передаточная функция замкнутой системы будет

где d₁=k - 1.153, d₂= 0.156 + 1.565k, d₃= 0.533k –0.00247. Для k = 0.3 получим

d₁ = -0.853, d₂ = 0.525, d₃ = 0.157. В характеристическом уравнении замкнутой системы сделаем замену и после несложных преобразований получим

Для системы 3-го порядка условие устойчивости, вытекающее из критерия Гурвица, определяется выражением

Подставим численные значения коэффициентов в это выражение и получим

Замкнутая система при заданном значении коэффициента усиления прямой цепи устойчива.

Для неизвестного значения коэффициента усиления после билинейного преобразования получим

Из анализа выражений для коэффициентов характеристического уравнения следует,что необходимое условие устойчивости для коэффициентов d₀ и d₃ выполняееся всегда, коэффициент d₁> 0, если k < 4.14, а d₂ > 0, если k < 0.785. Условием нахождения системы 3 – го порядка на колебательной границе устойчивости является равенство

Подставим значения коэффициентов и после элементарных преобразований получим квадратное уравнение относительно коэффициента усиления

Решение уравнения дает два значения: и

Сравнивая эти результаты с полученными выше, можно сделать вывод, что

Для оценки устойчивости дискретно системы можно использовать и частотные характеристики, получающиеся после замены Однако, полученные таким путем характеристики выражаются сложными трансцендентными функциями и их определение и использование связано со сложными вычислениями. Поэтому, для использования частотных характеристик, вначале к передаточной функции применяют билинейное преобразование (8.12). Из (8.12) также следует

Сравнивая полученный результат с заменой s = jw, можно сделать вывод, что по форме они совершенно одинаковы. Назовем псевдочастотой величину и, для получения характеристик дискретной системы относительно псевдочастоты, будем использовать подстановку Псевдочастота и круговая частота связаны соотношением

(8.13)

Из полученных выражений видно, что частотные характеристики дискретных САУ относительно круговой частоты являются периодическими функциями с периодом Нетрудно убедиться, что при изменении круговой частоты в указанных пределах, псевдочастота изменяется от -¥ до +¥. Так как частотные характеристики периодические функции, то достаточно строить их в пределах Частотные характеристики дискретных систем строятся относительно псевдочастоты и после этого, для оценки устойчивости, к ним применимы частотные критерии устойчивости. Построение частотных характеристик дискретных систем связано с большим объемом преобразований и вычислений. В то же время использование частотных характеристик предпочтительно в случаях, когда нужно не только оценить собственно устойчивость системы, но и определить запасы устойчивости и наметить пути стабилизации системы. Для расчета и построения частотных характеристик дискретных систем используются различные прикладные программы вычислений. На рис.8.6 показаны ЛЧХ, построенные с использованием пакета прикладных программ “Classical Control” для передаточной функции разомкнутой системы из предыдущего примера.

Рис.8.6. ЛЧХ системы

Из рисунка следует, что w_с < w_p, а значит замкнутая система устойчива. В тоже время запасы устойчивости, определенные из графиков, g = 16⁰,

H = -2.67дб., явно недостаточны. Отметим также, что на приведенном рисунке на оси частот указаны значения круговых частот.

8.5. Анализ качества дискретных САУ

Показатели качества дискретной системы наиболее просто определяются по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием

Изображение переходной функции будет

Дискретные значения переходного процесса могут найдены путем разложения изображения H(z) в ряд Лорана, которое реализуется простым делением числителя изображения переходной функции на ее знаменатель. После деления получим

(8.14)

С другой стороны, по определению Z – преобразования

(8.15)

Сравнивая (8.15) с (8.14), можно заключить, что коэффициенты разложения С_i равны дискретным значениям h(iT) переходной функции.

Пример. Передаточная функция замкнутой системы задана выражением

Считая, что Т=0.1, построить переходную функцию. Для изображения

переходной функции получим

Разделим числитель на знаменатель

Отложив на графике ординаты дискретных значений и соединив их плавной кривой, получим переходную функцию системы (рис.8.7).

Продлив вычисления дальше, можно определить все показатели качества, но уже и так ясно, что переходный процесс неудовлетворителен, т.к. перерегулирование превышает 60%, что является следствием малых запасов устойчивости.

По аналогии с непрерывными системами точность дискретных САУ в установившемся режиме можно оценивать с помощью коэффициентов ошибок. В общем случае коэффициенты ошибок дискретной системы определяются выражением

(8.16)

Рис.8.7. Переходная функция системы

Для вычисления практически используемых коэффициентов К₀ , К_{1 ,} К₂ выведены формулы

(8.17)

Введением в передаточную функцию прямой цепи звена что соответствует введению интеграла, системе можно придать астатизм. Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае имеет вид

. (8.18)

Здесь n - порядок астатизма. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке будет равна

(8.19)

Очевидно, что при n = 1, коэффициент ошибки по положению К₀ = 0. При астатизме второго порядка (n = 2) получим, что К₀ = 0, К₁ = 0 и т.д.

8.6. Синтез дискретных САУ

Синтез дискретных САУ состоит в разработке такой программы обработки информации в ЦВМ, при которой синтезированная система удовлетворяет поставленным требованиям.

При синтезе дискретных систем необходимо учитывать некоторые особые условия, важнейшим из которых является условие грубости.

8.6.1. Условие грубости системы.

При синтезе замкнутой дискретной САУ ее передаточная функция не может быть выбрана произвольно, она должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего желаемая передаточная функция замкнутой системы Ф_ж(z) должна удовлетворять условию физической реализуемости, которое выполняется, если Ф_ж(z) представляет собой правильную дробь поz (n>m).
Условие физической реализуемости является необходимым, но в общем случае недостаточным. При практической реализации дискретных (цифровых) корректирующих цепей их характеристики могут несколько отличаться от необходимых. Если это отличие вызовет малое изменение процессов в замкнутой САУ, то такая САУ представляет собой грубую систему. Если же малое отличие характеристик качественно изменит процесс, то система будет не грубой. Следовательно, всякая синтезированная система должна удовлетворять условию грубости.

Предположим, что параметры дополнительной корректирующей цепи несколько отличаются от расчетных. Тогда передаточная функция замкнутой системы Ф(z) будет несколько отличаться от желаемой Ф_ж(z).Оценим отклонеие (вариацию) Ф(z)от Ф_ж(z):

(8.20)
Обозначим как W_k(z)передаточную функцию корректирующей цепи. Тогда, по определению вариации, можно записать

(8.21)
Для последовательной коррекции в прямой цепи

(8.22)
где W₀(z)=P(z)/Q(z)- передаточная функция неизменяемой части системы. В соответствии с выражением (8.21) получим

(8.23)
Передаточную функцию корректирующей цепи можно представить в виде

(8.24)
Вариация W_k(z),вызванная изменениями полиномов Q(z)и P(z)равна

(8.25)
Учитывая выражение (8.24) для W_k(z)из (8.25) можно получить

(8.26)
Подставим это выражение в (8.23) и, учитывая (8.24) и W₀(z), после преобразований получим окончательное выражение для вариации передаточной функции замкнутой системы

(8.27)

Если передаточная функция неизменяемой части не имеет нулей и полюсов по модулю больших единицы (устойчивая и минимально-фазовая неизменяемая часть), то и вариация dФ(z)не будет содержать неустойчивых полюсов, и передаточная функция

(8.28)
будет соответствовать устойчивой замкнутой САУ. Чем меньше по абсолютной величине будут вариации dQ(z)и dP(z), тем меньше будет отличаться передаточная функция замкнутой системы от желаемой и тем меньше будет отличаться процесс в системе от желаемого.

Если же передаточная функция неизменяемой части системы имеет нули или полюсы, по модулю большие единицы, что соответствует неминимально-фазовой или неустойчивой неизменяемой части, то эти нули и полюсы будут совпадать с полюсами вариации (8.27) замкнутой системы, как бы ни были малы вариации dQ(z)и dP(z). Следовательно, передаточная функция замкнутой системы, определяемая выражением (8.28) будет соответствовать неустойчивой системе. В этом случае система является негрубой, ибо при небольшом отличии параметров корректирующей цепи от заданных замкнутая САУ становится неустойчивой. Отсюда следует, что корректирующая цепь не должна содержать

нулей и полюсов, которые близки к неустойчивым нулям и полюсам передаточной функции неизменяемой части системы. Иначе говоря, для обеспечения грубости замкнутой САУ нельзя сокращать неустойчивые нули и полюсы передаточной функции неизменяемой части разомкнутой системы с полюсами и нулями передаточной функции корректирующей цепи.

Этот вывод накладывает определенные ограничения на желаемую пере даточную функцию замкнутой системы.

Представим числитель и знаменатель передаточной функции неизме

няемой части системы в виде

где P⁺(z)и Q⁺(z)имеют все нули по модулю меньшими единицы, а полиномы P^-(z)и Q^-(z)-большими единицы. Тогда

(8.29)
Для устойчивой неизменяемой части системы Q^-(z)=1, а для минимально-фазовой неизменяемой части разомкнутой САУ P^-(z)=1.Если неизменяемая часть разомкнутой системы неустойчива и неминимально-фазовая, то передаточную функцию цепи коррекции (8.24) можно представить в виде

(8.30)
Для того, чтобы W_k(z) не содержала неустойчивых нулей и полюсов W₀(z), неустойчивые нули передаточной функции W₀(z), т.е. нули P^-(z), как видно из (8.30), должны входить в число нулей Ф_ж(z), а неустойчивые полюсы W₀(z), т.е. нули Q^-(z), должны входить в число нулей передаточной функции замкнутой системы по ошибке Ф_e(z)=1-Ф_ж(z).

Действуя аналогично можно определить условия грубости для систем с последовательной коррекцией в цепи обратной связи и для параллельной коррекции. В результате можно получить следующие выводы.

1. Для минимально-фазовой и устойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ условия грубости заведомо выполняются, и поэтому выбор желаемой передаточной функции замкнутой системы не стеснен ограничениями.

2. Для неминимально-фазовой и устойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ условия грубости одинаковы при любом виде коррекции и накладывают определенные ограничения на выбор Ф_ж(z)- она должна содержать неустойчивые нули передаточной функции W₀(z).

3. Для минимально-фазовой и неустойчивой неизменяемой части разомкнутой системы возникают дополнительные ограничения на выбор Ф_ж(z), вытекающие из условия грубости, для последовательной коррекции в прямой цепи и параллельной коррекции (см. 8.30).

4. Для неминимально-фазовой и неустойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ ограничения на выбор желаемой передаточной функции замкнутой системы возникают при всех видах коррекции.

Выше мы рассматривали замкнутую систему при одном внешнем воздействии, приложенном ко входу импульсного элемента. Изменение точки приложения входного воздействия изменяет вид передаточной функции замкнутой системы. Поэтому, в силу неизбежных флюктуаций в различных точках замкнутой САУ, следует выбирать Ф_ж(z),исходя из наиболее жестких условий грубости, выведенных из анализа формулы 8.30. Таким образом, для всех видов коррекции Ф_ж(z) должна содержать нули P^-(z), а Ф_e(z)=1-Ф_ж(z)- нули Q^-(z).

8.6.2. Методы синтеза дискретных САУ

Синтез дискретной системы может быть произведен с помощью ЛЧХ, по методике изложенной для непрерывных систем. Полученная передаточная функция корректирующего устройства W_k(w) с помощью выражения для билинейного преобразования переводится в W_k(z), что и определяет фрагмент программы ЦВМ.

Дискретная система может быть синтезирована по аналоговому прототипу, т.е. по выполнению условия

.

Передаточная функция неизменяемой части известна

Выбрав требуемую коррекцию, например использованием ЛЧХ, можно определить желаемую передаточную функцию замкнутой непрерывной системы, а следовательно и ее импульсную переходную характеристику k(t). По ней можно определить желаемую передаточную функцию дискретной системы

(8.31)

Далее определяется передаточная функция разомкнутой системы

(8.32)

С другой стороны, передаточная функция разомкнутой системы

(8.33)

Выражения (8.32) и (8.33) позволяют определить передаточную функцию ЦВМ, т.ее программу ее работы.

Рассмотрим методику синтеза дискретной САУ по критерию быстродействия, когда основным является требование, чтобы выходной сигнал имел конечную и минимальную длительность.

Примем следующие обозначения:

передаточная функция неизменяемой части;

передаточная функция ЭВМ.
Тогда для передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы можно записать:

(8.34)
Если передаточные функции неизменяемой части и замкнутой системы известны, то из (8.34) следует:

(8.35)
Представим передаточную функцию неизменяемой части в следующем виде:

(8.36)
Полиномы с индексом “+” имеют все корни внутри круга единичного радиуса, а полиномы с индексом “-” вне этого круга. Операция представления передаточной функции в виде (8.36) называется факторизацией.

Условие грубости системы требует, чтобы передаточная функция желаемой замкнутой системы содержала в качестве своих нулей нули полинома В^-(z), а передаточная функция 1-Ф(z) в качестве своих нулей содержала нули полинома С^-(z).

(8.37)
Выбор полиномов M(z), N(z) и Q(z) обеспечивают получение заданных качественных показателей процесса регулирования в дискретные моменты времени.

При необходимости получить конечную длительность процесса регулирования выбирают характеристический полином замкнутой системы в виде:

(8.38)
где - целое положительное число.

В силу выражений (8.36) и (8.37) можно получить

Тогда для характеристического полинома замкнутой системы можно записать:

(8.39)
Соблюдение принципа физической реализуемости обеспечивается, если

(8.40)
Знак означает порядок полинома. При произвольных полиномах C^-(z) и
B^-(z) это условие выполняется, если

(8.41)
Из (8.40) и (8.41) следует, что минимальный порядок желаемого характеристического полинома замкнутой системы

(8.42)

При избранных порядках полиномов N(z) и M(z) полиномиальное уравнение (8.39) решается развертыванием его в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов указанных полиномов путем приравнивания членов с одинаковыми степенями оператора z в левой и правой части исходного уравнения.

Выбор определяет процесс минимальной и конечной длительности. В этом случае число уравнений полученной системы равно числу неизвестных коэффициентов и она имеет единственное решение. Чаще всего при таком выборе длительности процесса синтезированная система не обладает достаточными запасами устойчивости и имеет высокое перерегулирование.

Для исключения этого явления есть два пути. Первый заключается в сохранении конечной длительности переходного процесса при увеличении времени регулирования путем выбора > . В этом случае система алгебраических уравнений содержит неизвестных больше, чем уравнений и имеет бесчисленное количество решений. Разность между числом уравнений и числом неизвестных равна величине увеличения порядка системы по сравнению с минимальным. Каких-либо общих рекомендаций по выбору “лишних” неизвестных коэффициентов дать невозможно. Одной из возможностей решения этой проблемы является наложение ограничений на коэффициенты числителя передаточной функции замкнутой системы. Для этого необходимо получить изображение переходной функции и выбрать ее значения исходя из требований к переходному процессу. Эти значения являются функциями коэффициентов полиномов B^-(z) и M(z). Таким способом иногда удается подобрать приемлемые значения “лишних” коэффициентов и затем решить систему уравнений относительно оставшихся коэффициентов полиномов M(z) и N(z). Решение задачи и в этом случае неоднозначно и при невозможности получить желаемый переходный процесс приходиться еще более увеличивать порядок системы.
Второй путь заключается в отказе и от конечной длительности переходного процесса. В этом случае характеристический полином замкнутой системы выбирается в следующем виде:

(8.43)
Величину перерегулирования и длительность переходного процесса, определяемую заданным временем регулирования, часто удается получить и при минимальном порядке системы путем надлежащего выбора величин a и k.

Пример. Рассмотрим структурную схему цифрового автомата стабилизации, в которой демпфирование осуществляется по аналоговому каналу.

Иэ u(s)

- D(z) (z-1)/z 1/s - W_u^d(s)

k_ws

Рис 8.8. Структурная схема автомата стабилизации

Передаточная функция неизменяемой части определяется выражением

При вычисленном выше коэффициенте демпфирования и заданных параметров объекта получим

Факторизация этой передаточной функции дает

В соответствии с приведенными выше соображениями Для обеспечения минимальной длительности переходного процесса порядки полиномов M(z) и N(z) должны быть равны соответственно 1 и 0, т.е.

Характеристический полином замкнутой системы примет вид

Приравнивая члены при одинаковых степенях оператора z в левой и правой части получим

Отсюда

Переходный процесс в такой системе имеет вид, показанный на рисунке 8.9.

Рис.8.9.Переходный процесс минимальной и конечной длительности

Процесс действительно заканчивается на втором такте, но имеет очень большое перерегулирование.

Для повышения качества системы увеличим порядок ее до 4.На столько же возрастут порядки полиномов M(z) и N(z), т.е. получим, что m=3, n=2. Характеристический полином примет вид

Соответствующая система алгебраических уравнений будет

В системе 4 уравнения и 6 неизвестных. Зададим значения двух неизвестных, например, Тогда решение относительно неизвестных коэффициентов будет:
Переходный процесс в замкнутой системе при таком выборе порядка характеристического полинома показан на рисунке 8.10. Переходный процесс заканчивается на четвертом такте, но все еще имеет высокое перерегулирование (40%) и существенно уменьшить его подбором коэффициентов затруднительно.