Аппроксимация нестационарных задач
Рассмотрим параболическое уравнение
L 
в 
(2.29)
с краевым условием
на 
(2.30)
и начальным условием
в 
. (2.31)
Аппроксимацию этой задачи проведем в два этапа.
Вначале аппроксимируем эту задачу в области 
по пространственным переменным. Для этого все производные по пространственным переменным аппроксимируем разностными отношениями, затем аппроксимируем граничные условия (2.30). В итоге мы получим дифференциально-разностное уравнение и начально-краевые условия
L 
в 
,
на 
,
в 
.
Здесь L 
, 
сеточные операторы, 
, 
, 
, 
сеточные функции. Предположим, что мы можем исключить с помощью краевых условий значения на 
из разностного уравнения. Тогда мы приходим к следующей задаче
,
,
где 
, , 
функции от 
. Сеточные функции и заданы на .
Эта задача представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент (значений) сеточной функции .
Рассмотрим эту задачу Коши
, (2.32)
при 
. (2.33)
Предположим, что оператор не зависит от времени. Рассмотрим простейшие аппроксимации этой задачи Коши по времени. Для удобства записи индекс 
будем опускать. Зависимость сеточных функций от времени будем указывать с помощью верхнего индекса. Введем равномерную сетку узлов по времени шага 
на промежутке 
. Обозначим через 
множество узлов сетки по времени. Введем обозначения
, 
.
Наиболее простыми и употребительными аппроксимациями задачи (2.32), (2.33) являются явная и неявная схемы. Явная схема имеет вид
, 
, (2.34)
неявная схема
, . (2.35)
Явная схема потому и называется явной, что позволяет вести счет по времени по простым, рекуррентным, ''явным'' формулам.
Наряду со схемами (2.34), (2.35) большое распространение имеет схема второго порядка аппроксимации по времени – схема Кранка – Николсона
, , (2.36)
где
или 
.
Схемы (2.34)-(2.36) называются двухслойными. Приведем пример многослойной схемы:
, .
Для этих схем требует уточнения вопрос о начале счета.
Разрешая схемы (2.34)-(2.36) относительно 
, получим, что для всех трех схем определяется из следующего рекуррентного соотношения:
, . (2.37)
Оператор 
называют оператором шага, а оператор 
оператором источника. Так:
- для явной схемы
, 
;
- для неявной схемы
, 
;
- для схемы Кранка - Николсона
, 
.
Представление (2.37) называется канонической формой двухслойных схем.
Уравнения вида (2.29) при условии, что L не содержит производных по времени называются эволюционными. Это название связано с тем, какого рода процессы описываются этими уравнениями.
В некоторых случаях при построении аппроксимации нестационарных задач удобно записывать разностные уравнения в виде системы двух уравнений, одно из которых аппроксимирует дифференциальное уравнение, а второе – начально-краевые условия. В этом случае разностный аналог задачи (2.29), (2.30), (2.31) примет вид
в 
, (2.38)
на 
(2.39)
Таким образом, так же как и для стационарных задач, для начально-краевых задач строится сеточная задача, представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений.
Так же как и для стационарных задач, вводится понятие аппроксимации исходной задачи сеточной задачей.
Говорят, что задача (2.38), (2.39) аппроксимирует исходную задачу на точном решении с порядком 
по пространственным переменным и с порядком 
по времени, если
,
.
Как и для стационарных задач, оператор 
сопоставляет функции 
сеточную функцию из пространства 
сеточных функций, заданных на 
. Например, 
.
Предположив, что решение задачи (2.29)-(2.31) имеет вторые производные по времени, можно показать, что схемы (2.34), (2.35) имеют первый порядок аппроксимации по времени. В этом можно убедиться, используя разложение точного решения по формуле Тейлора. Что касается схемы (2.36), то при достаточной гладкости точного решения она имеет второй порядок аппроксимации по времени.
Пример. Рассмотрим начально-краевую задачу
в , 
,
на ,
в 
.
Введем
,
В качестве аппроксимирующей примем задачу, записанную в операторной форме:
в ,
на 
,
в 
.
Рассмотрим простейшую явную аппроксимацию:
,
,
,
.
Тогда
в ,
на ,
в .
Каноническая форма записи этой двухслойной схемы имеет вид
, 
, ,
где
,
.
Неявная схема для рассматриваемой начально-краевой задачи имеет вид
,
,
, .
Схема Кранка – Николсона
,
,
,
.