Краткие теоретические сведения. В практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации

В практике обработки экспериментальных данных могут быть ситуации, когда применение лагранжевой аппроксимации (например, полиномиальной) не оправдано или в принципе невозможно.

Примером такой ситуации могут служить случаи, когда набор экспериментальных данных был получен со значительной погрешностью, либо на измеряемую (зависимую) величину влияли некоторые дополнительные, не учитываемые факторы. Для демонстрации этой ситуации на левом рисунке представлены экспериментальные точки, истинная неизвестная кривая f(x) и аппроксимирующая кривая (x), полученная одним из методов лагранжевой аппроксимации.

.

На рисунке представлена ситуация, когда экспериментальные замеры в каждом узле проводились неоднократно и, вследствие указанных выше причин, дали разные результаты. В этом случае применение лагранжевой аппроксимации в принципе невозможно, так как каждому узлу соответствует несколько разных значений

В этих условиях требуется проводить аппроксимирующую кривую, которая не обязательно проходит через узловые точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость и сглаживает возможные выбросы, возникшие из-за погрешности эксперимента.

Считаем известными значения экспериментальных данных в узлах и через (x) обозначим непрерывную аппроксимирующую функцию. В узлах значения функций и будут отличаться на величину . Отклонения могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат, а для оценки близости функций (x) и f(x) возьмем сумму этих квадратов

(4.11)

Метод построения аппроксимирующей функции (x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов ( далее - МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной комбинации , где , , …, - базисные функции; ; с₀,с₁,…,с_m - коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q. Величину Q можно рассматривать как функцию нескольких переменных с₀,с₁,…,с_m, т.е. Q= Q(с₀,с₁,…,с_m). Минимум такой функции, как известно, достигается при равенстве нулю всех частных производных , i=0,1,2,…,m:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Путем несложных математических выкладок эту систему уравнений можно преобразовать к виду:

	(*)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

где , - скалярные произведения функций:

, .

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функцииf(x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, симметричность, наличие асимптот и т.д.

Здесь рассмотрим частный случай, когда аппроксимирующая функция имеет вид наклонной прямой линии . Такую функцию можно представить как линейную комбинацию двух базисных функций (x)=A ₀(x)+B ₁(x), где , .

Решение системы (*), расписанной для коэффициентов А и В имеет вид:

,

где символ "надчеркивание" обозначает среднее значение: , т.е.

	- среднее значение узловых точек аппроксимации;
	- средний квадрат значений узловых точек аппроксимации;
	- среднее значение аппроксимируемой функции в узловых точках;
	- среднее произведений значений аппроксимируемой функции в узловых точках на значения соответствующих узловых точек.

Если требуется построить аппроксимирующую функцию, имеющую нелинейный характер относительно независимой переменной x, то иногда удается перейти к линейной зависимости.

Например, пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде .

Прологарифмируем значения аппроксимируемой функции f (x) в узловых точках: , i=0,1,2,…,n и для реализации найдем линейную аппроксимирующую функцию . Формулы для и в этом случае выглядят так:

,

где - среднее значение логарифмов аппроксимируемой функции в узловых точках.

Чтобы теперь осуществить переход от функции к функции , надо пропотенцировать обе части равенства :

Величину обозначим , а коэффициенты С и D, входящие в (4.21), вычисляются по формулам:

.

Следовательно, последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:

1) вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции ;

2) вычисление коэффициентов и ;

3) вычисление коэффициентов С и D;

4) вычисление значений функции при необходимых значениях х.

Задание

Изучить теоретический материал: метод наименьших квадратов.

По имеющемуся набору экспериментальных данных о зависимости F(x) построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость H(x) в виде H(x)=Ce^Dx. Построить диаграмму с графиком функции H(x) на интервале аппроксимации в виде непрерывной линии и значениями аппроксимируемой функции F(x) в узловых точках.

Для защиты контрольной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете по задаче 3 представить:

- полную запись найденной функции H(x);

- ответы на контрольные вопросы.

Пример решения задачи

A1’Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов

A2’Исходные данные Объединить клетки A2,B2.

C2’Экспоненциальная зависимость Объединить клетки C2:F2, центрировать по горизонтали.

A3’x B3’F(x) C3’x*x D3’lnF E3’X*lnF F3’H(x)

Вводим исходные данные из таблицы индивидуальных заданий: в клетки A4:A23 - данные по x , в B4:B23 - по F(x)

Найдем средние значения необходимых величин:

A24’Средние Объединить клетки A24:E24, центрировать по горизонтали.

A25=СРЗНАЧ(A4:A23) Копируем A25 в С25:Е25.

Вычислим коэффициенты экспоненциальной модели C и D:

D26’C= D27’D= Прижать к правому краю.

E26=EXP(D25-E27*A25) E27=(A25*D25-E25)/(A25*A25-C25)

Построим графики аппроксимируемой и аппроксимирующей зависимостей:

Выделим диапазон A3:B23 и при нажатой клавише Ctrl диапазон F3:F23.

Далее – Вставка→Диаграммы→Точечная→гладкая линия

Встать мышкой на график F(x), нажать на правую кнопку мышки, выбрать «Изменить тип диаграммы → отдельные точки.

Полученная в результате описанных действий электронная таблица представлена ниже.

	A	B	C	D	E	F
	Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов
	Исходные данные	Экспоненциальная зависимость
	x	F(x)	x*x	ln F	x lnF	H(x)
		2,4962		0,91477	0,91477	2,891491
		2,7777		1,021623	1,021623	2,891491
		3,2303		1,172575	1,172575	2,891491
	1,4	3,6873	1,96	1,304894	1,826852	3,225252
	1,8	3,1263	3,24	1,13985	2,05173	3,597539
	1,8	4,0496	3,24	1,398618	2,517513	3,597539
	2,2	4,0617	4,84	1,401602	3,083524	4,012798
	2,2	4,187	4,84	1,431984	3,150366	4,012798
	2,6	4,5722	6,76	1,519994	3,951986	4,47599
		4,6821		1,543747	4,63124	4,992648
	3,4	5,098	11,56	1,628848	5,538084	5,568943
	3,4	5,294	11,56	1,666574	5,666352	5,568943
	3,4	5,314	11,56	1,670345	5,679172	5,568943
	3,8	6,802	14,44	1,917217	7,285423	6,211759
	3,8	5,9254	14,44	1,779248	6,761143	6,211759
	4,2	7,1601	17,64	1,968524	8,267801	6,928774
	4,2	7,3484	17,64	1,994483	8,376827	6,928774
	4,2	6,9879	17,64	1,94418	8,165556	6,928774
	4,6	7,4138	21,16	2,003343	9,215378	7,728553
		8,9416		2,190715	10,95357	8,62065
	Средние
	2,9		9,976	1,580657	5,011574
				С=	2,2005
				D=	0,2731

В качестве результата получили:

Экспоненциальная аппроксимирующая функция имеет вид:

H(x) = 2,2005 e^0,2731x

Таблица индивидуальных заданий

x	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)
Вар.0	Вар.1	Вар.2	Вар.3	Вар.4	Вар.5	Вар.6	Вар.7	Вар.8
1,00	1,0763	1,2517	1,3230	0,6277	1,8814	0,9359	2,0271	3,1520	3,8376
1,00	1,0958	2,4367	1,4282	1,8690	1,8362	1,9856	2,3484	2,4568	3,9836
1,00	1,1383	1,1782	1,2831	0,4060	1,8883	2,3470	2,2181	3,4022	3,8886
1,40	1,0164	1,3449	1,1846	1,3298	1,4621	1,9700	1,8576	3,7402	3,0142
1,80	0,8448	0,8970	1,0423	2,2396	1,2024	1,5461	1,2000	3,0803	2,2973
1,80	0,8451	2,2131	0,9386	2,0336	1,1520	2,7466	1,4444	4,0553	2,2882
2,20	0,7522	1,3838	0,8643	1,4532	1,2381	2,6644	0,8736	4,2548	1,6501
2,20	0,7373	2,9157	0,8048	2,8410	1,0669	2,1950	1,2159	3,0945	1,7271
2,60	0,7308	3,0485	0,6675	2,3196	0,7721	3,2191	0,9074	3,9021	1,3626
3,00	0,6000	2,9941	0,5978	3,7697	0,5254	4,5961	0,8578	5,3027	1,0164
3,40	0,4993	6,2228	0,5266	3,4957	0,4590	5,3854	0,4581	6,2270	0,7018
3,40	0,5338	4,2152	0,5803	4,0342	0,5279	5,3272	0,5526	5,2139	0,6705
3,40	0,5165	6,6556	0,4813	3,7366	0,7434	4,8497	0,5025	5,9395	0,7366
3,80	0,4420	6,2930	0,5195	4,5619	0,6277	4,7786	0,3066	6,4788	0,5702
3,80	0,4321	6,6981	0,5007	5,2506	0,6442	4,7873	0,3551	6,5435	0,5858
4,20	0,3882	9,4535	0,4187	5,7408	0,5844	6,5967	0,1355	7,2520	0,3684
4,20	0,4114	8,2133	0,4140	5,3274	0,5569	6,5855	0,4400	6,5925	0,4366
4,20	0,4066	8,4742	0,4621	5,6536	0,1952	6,7917	0,5134	6,7186	0,5113
4,60	0,3975	11,9610	0,2657	7,4624	0,3174	7,9354	0,2827	7,2521	0,2800
5,00	0,3139	15,6451	0,1904	8,9393	0,3803	9,8607	0,3911	9,5950	0,1901

x	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)
Вар.9	Вар.10	Вар.11	Вар.12	Вар.13	Вар.14	Вар.15	Вар.16	Вар.17
-1,00	1,2188	7,4220	0,8739	5,2215	0,7932	2,7183	0,9169	2,3129	0,6040
-1,00	1,8744	7,2743	0,3451	5,2551	0,7023	2,7224	0,5457	2,2731	1,3795
0,10	2,5227	3,9034	0,2551	3,1721	0,6109	1,7278	0,4102	1,3882	0,5093
1,40	3,7513	1,9399	1,1792	1,8205	1,5195	1,4338	0,7612	0,8849	1,8638
1,80	3,2916	1,4080	2,7255	1,0110	1,1280	1,2160	2,6846	0,6750	2,8831
1,80	2,6521	1,4022	1,6945	1,4741	1,2064	0,8360	2,0052	0,9361	1,8943
1,90	3,7389	1,2177	1,7536	1,0859	2,0333	0,7749	2,0041	1,1275	3,0288
2,00	3,0509	1,2728	2,7337	1,1864	1,4756	0,6660	3,1356	0,7449	2,9470
2,00	3,7143	1,4258	2,1889	1,2272	1,9645	0,6387	2,4937	1,0536	3,1886
2,20	4,0200	1,3204	2,4792	1,0077	2,3354	0,7531	2,4977	1,0592	3,5239
2,40	3,7461	1,1501	2,5267	1,1415	3,0000	0,5561	3,1217	0,5687	3,8096
2,40	4,8381	1,0199	2,4428	1,1088	2,8193	0,5975	3,3006	0,7909	2,9615
3,00	5,0505	0,4076	4,3727	0,4204	2,9146	0,8344	4,9770	0,3891	4,4011
3,00	4,6304	0,4654	4,3626	0,7858	3,2616	0,6677	5,1370	0,6601	4,6679
3,30	5,9083	0,6565	4,7978	0,5386	3,3511	0,4719	7,2505	0,2628	4,3614
3,60	5,8075	0,3249	5,6142	0,6977	4,0366	0,5039	9,3677	0,3877	5,2419
3,60	5,8265	0,5175	5,6892	0,7369	3,7288	0,4352	8,9492	0,6351	5,0457
4,00	5,8601	0,1873	5,6279	0,1482	4,6823	0,1552	12,6004	0,5884	5,3645
4,00	7,3884	0,3377	5,3762	0,4855	5,5250	0,1569	12,9322	0,3862	6,3406
4,00	6,1544	0,2686	6,4613	0,2665	4,8807	0,5988	12,2746	0,3369	5,7087

x	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)
Вар.18	Вар.19	Вар.20	Вар.21	Вар.22	Вар.23	Вар.24	Вар.25	Вар.26
-2,00	10,5443	0,9998	10,2760	2,3529	1,3845	8,4827	4,2413	13,6799	1,9314
-2,00	10,4500	0,8397	12,1079	2,1345	1,5908	8,7857	3,9753	14,1068	4,1296
-2,00	10,5111	1,3915	11,4337	1,1536	1,8461	8,5152	2,7297	14,4267	4,1861
-1,50	8,5483	3,1054	8,9798	3,8221	1,9248	6,1833	2,4454	10,8812	4,1504
-0,50	4,7797	2,7413	6,4898	2,7490	2,5963	4,1893	3,2621	7,7228	6,9814
-0,50	5,5932	3,7610	7,0710	4,7736	2,5332	3,6953	4,7954	8,3648	6,7332
0,00	4,0736	5,2426	5,2753	4,9639	2,8187	3,3739	4,5197	6,3934	5,6020
0,50	2,8870	5,6609	5,0244	5,3861	2,9823	2,6031	8,5462	4,8030	10,7851
0,50	2,8359	6,2277	4,9805	4,0506	3,3586	2,3200	7,2968	5,0912	7,1530
1,60	1,7123	7,7175	1,3983	7,2094	3,8109	1,5975	15,6168	3,2186	19,9620
1,60	2,1779	8,5510	1,8123	9,5566	3,8605	1,0484	12,4483	3,0739	20,1035
2,00	1,2629	10,0484	2,5399	11,1381	4,6513	1,0105	17,4373	3,3034	24,2122
2,00	1,9565	11,9251	2,8363	9,8385	4,1702	1,1116	15,6178	2,9417	24,5415
2,80	0,6632	16,3300	3,0883	13,1075	5,7011	1,0241	26,4145	1,8160	37,5915
2,80	0,9798	14,8465	3,1230	13,8199	5,6702	0,9052	26,6948	1,7540	38,8683
2,90	0,8659	17,3987	2,4381	14,3407	5,3830	0,4109	28,4724	2,8899	40,3504
3,00	0,5926	17,1442	1,7274	15,7204	5,9743	0,4929	27,3341	2,8133	40,4670
3,00	0,5223	18,8498	2,1305	15,6550	5,7096	0,3712	28,9271	1,9885	40,1577
3,20	1,3035	18,6170	0,2727	16,8506	5,9244	0,6636	31,1035	1,3586	49,6981
3,20	0,3468	19,5010	0,9072	15,2880	6,1989	0,7557	31,9375	1,6981	48,0468

x	З н а ч е н и я ф у н к ц и и F(x)
Вар.27	Вар.28	Вар.29	Вар.30	Вар.31	Вар.32	Вар.33
-1,80	0,7954	4,2143	2,4855	8,4839	1,6890	7,7193	2,9686
-1,80	0,4751	4,1894	1,0806	8,4528	1,9473	7,8879	2,8571
-1,80	0,7824	4,3386	0,2105	8,4806	1,6229	8,0484	2,2768
-1,00	1,0061	3,3704	3,2685	5,1409	1,4547	6,2831	3,0931
-0,80	1,9167	3,1231	1,8045	5,2923	0,7821	6,1493	3,3069
-0,70	1,8787	2,9799	1,3907	4,8455	0,7107	5,6850	3,6335
-0,20	1,7500	2,6343	2,2458	3,5248	4,3902	5,1625	4,0251
-0,20	1,6736	2,6391	3,6228	3,4686	3,0041	4,7244	4,6314
0,00	1,5901	2,5917	3,0375	3,5409	5,3968	4,6527	4,4182
0,50	2,4911	2,2399	5,1021	2,6086	3,1120	3,8518	4,8345
1,00	2,9704	1,6891	7,8280	2,0339	4,2047	2,9507	6,3153
1,00	2,6361	1,9321	6,4398	1,9889	5,9370	3,4830	6,5185
1,30	3,6619	1,6717	9,0353	2,1569	4,7632	3,4173	6,6729
2,00	4,2837	1,2307	10,8478	0,8357	9,6232	2,5331	8,4478
2,00	4,8137	1,4651	11,4076	1,1899	5,0399	2,6511	8,0921
2,20	5,0891	1,1702	11,8879	1,3054	7,4231	2,4445	8,4211
2,30	4,8418	1,2996	13,2842	1,3476	5,9161	2,1828	8,9484
2,30	5,2725	1,3972	15,4108	0,6554	6,6441	2,2021	9,2724
2,70	5,5842	1,2213	18,2798	0,6961	8,4778	1,6939	9,8335
2,70	5,7598	0,9472	16,4949	1,3209	11,6876	1,6293	10,1606

4.6. Контрольные вопросы

1. В каких случаях целесообразно использовать для аппроксимации метод наименьших квадратов?

2. Что минимизируется в методе наименьших квадратов?

3. Зачем в методе наименьших квадратов величина e берется в квадрате?

4. От чего зависит выбор базисных функций в методе наименьших квадратов?

5. Какие базисные функции используются при линейной аппроксимации МНК?

6. Как получены формулы для коэффициентов C и D при экспоненциальной аппроксимации?

ЗАДАЧА 4. Вычисление определенных интегралов