Учебно-методические материалы

Задача № 11. Составить уравнение касательной и нормали кривой в данной точке

учебно-методические материалы - student2.ru

Решение: По формуле (41) имеем

учебно-методические материалы - student2.ru

или учебно-методические материалы - student2.ru (*)

Находим координаты точки касания учебно-методические материалы - student2.ru :

учебно-методические материалы - student2.ru

Затем определим производную от учебно-методические материалы - student2.ru по учебно-методические материалы - student2.ru , как от функции заданной параметрически, по формуле (43)

учебно-методические материалы - student2.ru

Вычислим ее значение для точки касания учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru .

Подставляя учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru в уравнение (*), получим

учебно-методические материалы - student2.ru ,

учебно-методические материалы - student2.ru ,

учебно-методические материалы - student2.ru – уравнение касательной

или учебно-методические материалы - student2.ru

По формуле (42) имеем

учебно-методические материалы - student2.ru

или учебно-методические материалы - student2.ru (**)

Подставляя учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru в уравнение (**), получим

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru – уравнение нормали

или учебно-методические материалы - student2.ru

Ответ: учебно-методические материалы - student2.ru , учебно-методические материалы - student2.ru

Задача № 12. Найти асимптоты графика функции учебно-методические материалы - student2.ru .

Решение: Т.к. учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Следовательно, учебно-методические материалы - student2.ru – вертикальная асимптота.

По формуле (46) находим

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Таким образом, учебно-методические материалы - student2.ru – наклонная асимптота графика функции.

Рассмотрим

учебно-методические материалы - student2.ru (горизонтальной асимптоты нет)

Ответ: учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru .

Задача № 13. Провести полное исследование и построить график функции учебно-методические материалы - student2.ru

Решение: Воспользуемся планом полного исследования функции (см. § 5 главы III)

I. Функция определена на всей числовой оси кроме точки учебно-методические материалы - student2.ru , т.е. учебно-методические материалы - student2.ru

1. учебно-методические материалы - student2.ru

В точке учебно-методические материалы - student2.ru функция имеет разрыв II-го рода, т.к. учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Аналогично рассматривается учебно-методические материалы - student2.ru .

2. Функция является нечетной, т.к. учебно-методические материалы - student2.ru учебно-методические материалы - student2.ru график симметричен относительно начала координат, функция является непериодической.

3. Точек пересечения с осями координат нет.

II. Найдем асимптоты.

учебно-методические материалы - student2.ru – вертикальная асимптота.

Для нахождения наклонных асимптот воспользуемся формулами (46)

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид учебно-методические материалы - student2.ru .

Горизонтальной асимптоты нет, т.к. учебно-методические материалы - student2.ru .

III. Находим производную первого порядка:

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru . Производная учебно-методические материалы - student2.ru обращается в нуль при учебно-методические материалы - student2.ru и не существует при учебно-методические материалы - student2.ru . Однако, критическими точками являются только точки учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru : они лежат внутри области определения функции учебно-методические материалы - student2.ru и в них эта функция непрерывна. Точка учебно-методические материалы - student2.ru .

Исследуем критические точки по знаку производной учебно-методические материалы - student2.ru .

учебно-методические материалы - student2.ru учебно-методические материалы - student2.ru

Следовательно, функция возрастает учебно-методические материалы - student2.ru на учебно-методические материалы - student2.ru , убывает учебно-методические материалы - student2.ru на учебно-методические материалы - student2.ru .

IV. Находим производную второго порядка

учебно-методические материалы - student2.ru ,

Имеем учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru не существует при учебно-методические материалы - student2.ru , но учебно-методические материалы - student2.ru

Следовательно, точек перегиба нет.

Находим интервалы выпуклости функции учебно-методические материалы - student2.ru и вогнутости учебно-методические материалы - student2.ru :

 
  учебно-методические материалы - student2.ru

Т.е. функция выпукла учебно-методические материалы - student2.ru на учебно-методические материалы - student2.ru и вогнута учебно-методические материалы - student2.ru на учебно-методические материалы - student2.ru .

учебно-методические материалы - student2.ru V. Построим график функции

Задача № 14. Вычислить учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Решение:

учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru .

Находим учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru .

Находим смешанную производную

учебно-методические материалы - student2.ru

Ответ: учебно-методические материалы - student2.ru учебно-методические материалы - student2.ru .

Задача № 15. Найти учебно-методические материалы - student2.ru , учебно-методические материалы - student2.ru .

Решение:

Воспользуемся формулой (44): учебно-методические материалы - student2.ru .

Преобразуем уравнение к виду учебно-методические материалы - student2.ru , учебно-методические материалы - student2.ru .

Находим учебно-методические материалы - student2.ru

учебно-методические материалы - student2.ru

Следовательно, учебно-методические материалы - student2.ru ,

учебно-методические материалы - student2.ru .

Ответ: учебно-методические материалы - student2.ru

Задача № 16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области учебно-методические материалы - student2.ru .

учебно-методические материалы - student2.ru учебно-методические материалы - student2.ru , учебно-методические материалы - student2.ru

Решение:

I. Ищем критические точки функции учебно-методические материалы - student2.ru , лежащие внутри учебно-методические материалы - student2.ru :

учебно-методические материалы - student2.ru

Решая систему уравнений учебно-методические материалы - student2.ru , находим критические точки учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru . Ни одна из них не лежит внутри области учебно-методические материалы - student2.ru . Других критических точек функция не имеет.

II. Находим наибольшее и наименьшее значения учебно-методические материалы - student2.ru на границе заданной области.

а) На участке АОВ имеем учебно-методические материалы - student2.ru , где учебно-методические материалы - student2.ru .

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции учебно-методические материалы - student2.ru на отрезке учебно-методические материалы - student2.ru :

1) учебно-методические материалы - student2.ru ; учебно-методические материалы - student2.ru при учебно-методические материалы - student2.ru ; учебно-методические материалы - student2.ru .

2) Находим учебно-методические материалы - student2.ru .

3) Сравнивая значения во внутренней критической точке учебно-методические материалы - student2.ru и на концах учебно-методические материалы - student2.ru , заключаем: наибольшее значение учебно-методические материалы - student2.ru на отрезке учебно-методические материалы - student2.ru равно 5, т.е. учебно-методические материалы - student2.ru , а наименьшее значение учебно-методические материалы - student2.ru на этом отрезке равно нулю (в точке учебно-методические материалы - student2.ru ).

б) На участке АВ имеем учебно-методические материалы - student2.ru где учебно-методические материалы - student2.ru :

Ищем наибольшее и наименьшее значения учебно-методические материалы - student2.ru на отрезке учебно-методические материалы - student2.ru :

1) учебно-методические материалы - student2.ru внутри данного отрезка учебно-методические материалы - student2.ru при учебно-методические материалы - student2.ru ; учебно-методические материалы - student2.ru .

2) Находим учебно-методические материалы - student2.ru .

3) Наибольшее значение учебно-методические материалы - student2.ru на отрезке учебно-методические материалы - student2.ru равно 5 в точках учебно-методические материалы - student2.ru , а наименьшее значение учебно-методические материалы - student2.ru на этом отрезке равно 0,77 (в точке учебно-методические материалы - student2.ru ).

Сопоставляя значения учебно-методические материалы - student2.ru на участках АОВ и АВ, приходим к выводу: на всей границе наибольшее значение функции учебно-методические материалы - student2.ru равно 5 (в точках А и В, а ее наименьшее значение равно 0 (в точке О).

III.Внутри заданной замкнутой области учебно-методические материалы - student2.ru функция учебно-методические материалы - student2.ru не имеет точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе этой области. В граничных точках учебно-методические материалы - student2.ru и учебно-методические материалы - student2.ru функция учебно-методические материалы - student2.ru имеет наибольшее значение, учебно-методические материалы - student2.ru , а в граничной точке учебно-методические материалы - student2.ru она имеет наименьшее значение, учебно-методические материалы - student2.ru .

Наши рекомендации