Векторы и простейшие действия над ними
Векторы и аналитическая геометрия на плоскости
Векторы и простейшие действия над ними
Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка .
Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или , ….
Различают векторы связанные (закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.
Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: ).
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: . При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.
Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается . Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.
Пусть заданы два ненулевых вектора . Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы . Под углом между векторами и понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.
Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов .
Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) |λ | = |λ| | |;
2) λ ↑↑ , если λ > 0,
λ ↑↓ , если λ < 0,
λ = , если λ = 0 или = .
Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: .
Рис. 1
Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).
Рис. 2
Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).
Рис. 3
Свойства линейных операций над векторами:
1) коммутативность сложения векторов, т. е.
;
2) ассоциативность сложения векторов, т. е.
;
3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.
;
дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.
;
4) ;
5) ;
6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.
.
Вектор называется противоположным вектору .
Разностью векторов и называется вектор
.
Для того чтобы найти разность , необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец - с началом вектора (рис. 4).
Рис. 4
Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): ,
Рис. 5
Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора , если и . Для его нахождения может быть использована формула
.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа такие, что
, .
Говорят, что точка C делит вектор в отношении λ (λ > 0), если =λ .
Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число
.
Скалярное произведение обозначается также .
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .
Скалярным квадратом вектора называется величина
.
Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть
.
Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой
.
Свойства скалярного произведения:
1) – коммутативность;
2) –дистрибутивность;
3) ;
4) тогда и только тогда, когда ;
5) тогда и только тогда, когда ,
тогда и только тогда, когда
6)
7) .
Пример 1. По заданным трем векторам (рис. 6(а)) изобразить их линейную комбинацию .
Рис. 6 (а)
Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 6(б)). Затем от конца вектора отложим вектор и, наконец, вектор , исходящий из концевой точки вектора . Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.
Рис. 6 (б)
Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и .
Решение. 1-й способ. Пусть для определенности . Тогда . Рассмотрим векторы и с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов, вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку , то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и . Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором .
Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и
2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которого совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами а значит, между и .
Пример 3. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно λ. Полагая выразить через и векторы
Решение.Проведем диагоналиAC и BD (рис. 7). Пусть О – точка их пересечения.
Рис. 7
Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия следует, что Имеем
Аналогично
Тогда
Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами и , если , причем
Решение. Найдем скалярное произведение
Из условия следует , т. е.
Учитывая, что имеем
Значит,
.
Из последнего соотношения получаем
Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах и угол между которыми 600, причем
Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали параллелограмма, построенного на векторах , равны соответственно Так как то имеем следующее: