Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций.

Пределы, производные и приложения производной функций.

А = 0, В = 1, из таблиц находим, что т =1, п =5.

2.1.1 Найти пределы функций:

а) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

в) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Производные функций.

2.1.2 Найти производные Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru функций:

а) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ; Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ; Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

в) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ; Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

д) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Приложения производной.

m=1 n=5

С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции:
Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Функция определена на Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Не периодична. Не является ни четной, ни нечетной.

Пересекается с осью х в одной точке х=1/5, с осью y в точке y=1/25.

Исследуем на непрерывность:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Функция имеет две вертикальные асимптоты x=-5 и x=5.

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru и Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Функция имеет общую горизонтальную асимптоту y=0.

Возьмем производные:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Очевидно, что первая производная отрицательная на всем множестве существования функции. Функция убывает везде, где существует.

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru . У второй производной есть только один действительный корень, равный Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru .

Для построения графика знаки производных в характерных точках и промежутках сведем в таблицу:

x (-∞;-5) -5 (-5;x3) x3 (x3;5) (5;+ ∞)
y   нет       нет  
Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru - нет - - - нет -
Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru - нет + - нет +
  Убывает. выпукла вверх Верт. ассимпт. Убывает. выпукла вниз перегиб Убывает. выпукла вверх Верт. ассимпт. Убывает. выпукла вниз

Построим график функции:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Функции нескольких переменных

Частные производные и дифференциал функции.

3.1.1 Найти частные производные Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru , Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru и Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru функций:

m=1 n=5
а) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

3.1.2 Найти полный дифференциал Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru функции Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru .

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Приложения частных производных.

3.2.1 Для функции Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru в точке Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru найти градиент и построить вектор градиента. A(-5;1)

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Числовые данные параметров т и п в контрольной работе №1 определяются по двум последним цифрам своей зачетки (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А
т

Таблица 2 (выбор параметра п )

В
п

A=0 b=1 -à m=1 n=5

Неопределенный интеграл.

Найти интегралы:


а) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru
в) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru г) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Этот пример лучше решить предварительно решив задачу о нахождении интеграла по частям два раза:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Сначала найдем интеграл:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Теперь найдем второй интеграл:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Теперь найдем наш интеграл (просто подставим a=1 b=1 alpha=5):

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл

а) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ; б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ;

в) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru ; г) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

m=1 n=5

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Второе слагаемое равно нулю, так как синус интегрируется на длине периода. Следовательно:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Сначала найдем интеграл:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Теперь найдем наш интеграл:

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Несобственные интегралы.

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а ) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru б) Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

m=1 n=5

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru сходится.

Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций. - student2.ru 0 преподаватель должен более внимательно составлять задание!

Наши рекомендации