ИДЗ-1 по теме «Вычисление предела функции в точке» Максимальная оценка: 12 баллов; Зачёт: ≥8 баллов.
Предел и непрерывность функции в точке.
. Пусть функция fопределена в ПО(a,ra>0)→рассмотрим значения f(x)
в точках, «близких» к а.
Определение 1 называется пределом функции f «в точке »,
если её значения в точках, «достаточно близких к а»,сколь угодно мало отличаются от А:
Эпсилон-дельта определение предела функции в точке:
(1) Определить (записать ): )
(2)Какие из записей f(1)=2; f(1)=∞; f(∞)=2; f(∞)=-∞ не определены?
Заменить их соответствующими «корректными» записями.
Определение 2.Функция fназывается непрерывной в точке х=а »,если её предел
в точке равен значению функции в точке
Утверждение 1. Элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические; их суммы, разности, произведения, отношения и композиции непрерывны ВО ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ области определения.
Следствие.Вычисление предела непрерывной функции сводится к вычислению её значения в точке.
Утверждение 2 (арифметические свойства предела).
Если существуют пределы функций и для них определена арифмиетическая операция(*) , ( предел суммы, разности, произведения и отношения функций равен сумме, разности, произведению и отношению их пределов).
Замечание.Для «раскрытия» неопределённостей вида “0/0”, “∞/∞”, “∞ - ∞”, “0∙∞”
рекомендуется использовать алгебраические преобразования: вынесение множителя из суммы,
умножение числителя и знаменателя дроби на подходящий множитель (≠0), формулы сокращённого умножения. (см. 3. Введение в анализ, Е.Е. Жукова)
Примеры.
1.
Бесконечно-малые (б.м.) функции и их сравнение. Таблица равносильных б.м..
Функция α(x)называется бесконечно малой при х→а,если .
Например, x2- x; ex-1, tg(x), sin(x), cos(x)-1, ln(1+x) - б.м. при х-->0;
ln(x), (x-1)3 - б.м. при х-->1; h(x)=1/x - б.м. при х-->∞.
Пусть α(х)и β(х) - б/м при х®a. Рассмотрим предел их отношения, который, очевидно, определяется «скоростью» убывания этих функций при х→а:
Определение(Сравнение б.м.)
Пусть существует предел отношения б/малых .
(1)Если q=0, «α(x) называют «б.м. более высокого порядка малости при х→а» и пишут
(о-малое отн. β(х) ) ⇔
(2)Еслиq =∞ β(x) называют «б.м. более высокого порядка малости при х→а » и пишут
(о-малое отн. α(х) ) ⇔
(3)Еслиq=1, α(х),b(х)называют «равносильными (эквивалентными) б.м. при х→а»и пишут⇔ 1
Следствия
(1) Если f непрерывнав точке«а» ( ), то функция α(х) =f(x)-f(a) – б/м при х→а.
(2)Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых - бесконечно малая функция
α, β - б.малыеи γ(x) = С1∙α(x) +C2∙β(x) -б. малая;
(3)Произведение б. малых-б.малая более высокого порядка малости, чем любой множитель :
a,b - б. малыепри x a γ(x) = a(x)∙ b(x) .(4)
Например, известно, что
ТАБЛИЦА РАВНОСИЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПРИ t 0.
| 1) sin(t) ~t | 2) arcsin(t)~t | 3) tg(t) ~t |
| 4) arctg(t)~t | 5)1 - cos(t) ~t2/2 | 6) ln(1 + t) ~ t |
| 7) et- 1~ t | 8) at- 1 ~ t∙ln(a) ; a>0; a1 et – 1 ~ t | 9) |
Приложение.
При вычислении пределов б.м. множители можно заменять на им равносильные б. малые.
Например,
========================================
ИДЗ-1 по теме «Вычисление предела функции в точке» Максимальная оценка: 12 баллов; Зачёт: ≥8 баллов.
Задание.Вычислить 4 предела,
раскрыв неопределённости алгебраическими методами,
заменой бесконечно малых функций на им равносильные,
используя Основное Логарифмическое Тождество.