Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства

Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим арифметическую (координатную) модель векторного пространства.

Арифметическая модель векторного пространства.

Выражения вида a +b +…+g называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.

Теорема размерности.

1. Пусть вектор параллелен вектору ₁, тогда существует xÎR такое, что =x ₁.

2. Пусть векторы лежат в плоскости П и ₁ не параллелен ₂. Тогда всякий вектор ÎП есть линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁ +у ₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их линейная комбинация:

= x ₁ + y ₂ + z ₃

Доказательство проведем только для случая 2.

Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления О ₁ и О ₂ отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х ₂ и у ₂. Тогда получим требуемое равенство = х ₁ +у ₂. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₁, рис. 6, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.

Вывод 1.

Если в пространстве задан базис { ₁, ₂, ₃}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие

↔(x,y,z), (1)

определяемое разложением вектора в заданном базисе: .

Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определена в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.

Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся случаем плоскости.

Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма

.

Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:

Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .

Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости

и в пространстве

.

Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .

Вывод 2.

Координаты вектора определяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности 8 свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти 8 свойств называют аксиомами модели векторного пространства.

Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:

На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.

Попутно мы устанавливаем следующее свойство.

Вывод 3.

Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимнооднозначное соответствие (1), обозначим его

, . (2)

Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:

(3)

и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.