Задачи для самостоятельной работы. Модули ОСП, ОТН; математический анализ, алгебра.

Вход

Модули ОСП, ОТН; математический анализ, алгебра.

Выход

Понятия

Множество

Отношение Подмножество

Бинарное отношение в X U Y Конечное м. Бесконечное м.

Бинарное отношение в X Счетное м. Континуальное м.

Отношение ОЧП

эквивалентности

ОЛП

Отношение ОЛП

равномощности по мощности

Класс Фактор- Разбиение

эквивалентности множество множества

Мощность

Конечная Счетная Мощность

мощность мощность континуума

Параметры .	Понятие, обозначение	Определяющее понятие и видовые признаки
X Î ObS, < X, ~>, xÎX	Класс эквивалентности элем-та x, [ x ]	Подмножество{yÎX | y~x} Í X
X Î ObS, < X, ~>	Фактор - множество, X|~	ПодмножествоX|~ Í Ã(X ), элементами которого являются различные классы эквивалентности элементов м. Xи только они
Xa, X, AÎObS Xa Í X "aÎA	Разбиение м. X, X = ëû Xa aÎA	Подмножество {Xa} Í Ã(X ) | X = È Xa aÎA & Xa ÇXb = Æ при a ¹ b
ObS - с. всех множеств	Отношение равномощности, [ X ] = [ Y ]	Отношение эквивалентности в ObS : X ~ Y : = $ биекция ¦: X « Y
X ÎObS	Мощность м. X , [ X ]	Класс эквивалентности м. X по отношению равномощности
n Î N	Конечная мощность	Мощность [{1,2, … , n}]
	Конечное м.	Множествоконечной мощности
	Бесконечное м.	Множество, которое не является конечным
	Счетная мощность, w	Мощность [N]
	Счетное м.	Множество счетной мощности
	Мощность континуума, c .	Мощность [ [0,1] ]
	Континуальное м.	Множество мощности континуума
X, Y Î ObS	ОЛП по мощности множеств, [ X ] £ [ Y ] .	Отношение линейного порядка в ObS : [ X ] £ [ Y ] : = X равномощно подмножеству Y*ÍY

Утверждения

УТВ ОЭ-1 О фактор-множестве. Пусть XÎ ObS. Тогда:

(~ - о. эквивалентности в X) Þ X = ëû [ x ].

[x] Î X|_~

Фактор-множество X|_~ образует разбиение м. X на классы эквивалентности

УТВ ОЭ-2 Об отношении равномощности

Отношение равномощности м. является о. эквивалентности в ObS

УТВ ОЭ-3 Свойства счетных множеств

3.1 Множество Zцелых чисел счетно

3.2 Множество рациональных чисел Qсчетно

3.3 Всякое подмножество счетного множества не более чем счетно

3.4 Пусть a Î A Î ObS; X_a Î ObS "a Î A. Тогда:

([X_a] = w "aÎ A & [A] £ w) Þ [ È X_a ] = w

aÎA

Конечное или счетное обьединение счетных множеств счетно

3.5 Пусть XÎ ObS. Тогда:

X - бесконечное м. Þ $ X^*Í X½ [ X^* ] = w

В бесконечном множестве существует счетное подмножество

УТВ ОЭ-4 Свойства континуальных множеств

4.1 Пусть a,b Î R & a < b. Тогда:

[ [0, 1] ] = [ [a,b] ] = [( a,b)] = [R] = [Rⁿ] = [ С[ a,b] ] = c

4.2 Пусть [N] = w & [[0,1]] =с. Тогда с > w

Мощность континуума строго больше счетной мощности

УТВ ОЭ-5 О сравнении мощностей Пусть ObS - система всех множеств.

Тогда : ( [ X] £ [ Y]: = Xравномощно Y*ÍY) Þ <ObS, £ > - ЛУМ

Все множества сравнимы по мощности

УТВ ОЭ-6 Гипотеза континуума

" XÎ ObS: [ X] £ w Ú c £ [ X ]

Не существует множеств мощности больше счетной , но меньше континуальной

УТВ ОЭ-7 Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств

Пусть XÎ ObS. Тогда:

Ã(X) = {X*½X*ÍX} Þ [Ã(X)] > [X]

Мощность множества всех подмножеств м . X строго больше мощности X

УТВ ОЭ-8 Теорема о квадрате. Если Х – бесконечное м., то [X²] = [X].

Умения

УМ ОЭ-1 Дано ~ - отношение эквивалентности в X. Построить фактор-множество X|_~:

1.1 Изобразить ( визуализировать ) фактор-множество, используя любые способы визуализации множества X(или X² )

1.2 Выделить класс эквивалентности [x_о ] , содержащий фиксированный элемент x_о Î X.

УМ ОЭ-2 Пусть XÎ ObS. Определить мощность [ X].

Примеры

ПР ОЭ-1 Пусть X = R ²; <x₁, y₁> ~ <x₂, y₂> : = x₁² + y₁² = x₂² + y₂²; x₀ = <0,1>.

Построить фактор-множество X|_~.

[<0,1>]

ПР ОЭ-2. Пусть X= (0, 1). Определить мощность [ X].

Решение. (0,1) Í [0,1] & [ 0.4 , 0.5 ] Í (0,1) =( [[a,b ]] = c "a,b ÎR½a<b)Þ [(0,1)] £ c & c £ [(0,1)] =(антисимметричность £ по мощности м.)Þ [(0,1)] = c ©

Доказательства теорем

УТВ ОЭ 4.2 Пусть [N] = w & [[0,1]] =с. Тогда w < с.

Д-во.От противного. Предположим [[0,1]] = w Ü(определение равномощности)Þ $ биекция f:N « [0,1] =(f – сюръекция, в частности)Þ f(N) = {f(k) | kÎN} = [0,1] (*). Обозначив для "k f(k) = Î [0,1], рассмотрим число x = 0,x₁x₂…x_k… Î[0,1], определенное по правилу:

цифра x_k = , kÎN

=(определение x)Þ f(k) ¹ x " kÎN =(xÎ[0,1] & xÏf(N))Þ xÎ[0,1] \ f(N) – противоречит равенству (*). Полученное противоречие доказывает теорему §

Задачи для самостоятельной работы

1. Пусть X,Y Î ObS. Доказать утверждение.

Варианты

1. XÍY Þ [X] £ [Y].

2. Отношение равномощности является отношением эквивалентности.

3. [Z] = w.

4. [[a,b]] =с(a<b).

5. [(a,b)] =с(a<b).

6. [R] = с.

7. [D] = с.

2. Решите "свой" вариант теста (не забудьте указать вариант, например, ТЕСТ ОЭ - 1). Тестовое задание (ТЗ) с номером № студента (mod12) представьте с решением, на остальные ТЗ пришлите только ответы.

Варианты

1. ТЕСТ ОЭ-1

№	А	В	Дополнительная информация
	Класс эквивалентности элем-та x, [ x ]	Фактор - множество, X|~	Понятия, < X, ~>
	Конечное м.	Конечная мощность	Понятия
	Счетная мощность, w	Мощность [N]	Понятия
	Рефлексивное, транзитивное, симметричное отношение	ОЛП по мощности множеств, [ X ] £ [ Y ] .	Понятия
	{1,2,3}	Ã({1,2})	Мощность м.
	[0,1]	Ã([0,1])	Мощность м.
	Ã({1,2,3})	{1,2,3,4,5,6,7}	Мощность м.
	x Î [x]	[x] Í X	Пар. высказывания, < X, ~>, x,y,zÎX
	XÍY	[X] £ [Y]	Пар. высказывания, X,YÎObS
	Фактор-м. - м. прямых {y = - x + c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {x = y + c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 - y1 = x2 - y2
	Фактор-м. - м. прямых {y = c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {x = c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 = x2
	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| x = 1}	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| y = 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 = x2

2. ТЕСТ ОЭ-2

№	А	В	Дополнительная информация
	ПодмножествоX|~ Í Ã(X ), элементами которого являются различные классы эквивалентности элементов м. Xи только они	Фактор - множество, X|~	Понятия, < X, ~>
	Мощность [{1,2, … , n}]	Мощность м. X , [ X ]	Понятия
	Счетная мощность, w	Счетное м.	Понятия
	Отношение линейного порядка в ObS [X]£[Y] : = X равномощно подмножеству Y*ÍY	ОЛП по мощности множеств, [ X ] £ [ Y ] .	Понятия
	N	Q	Мощность м.
	[0,1]	Rn	Мощность м.
	Æ	{1}	Мощность м.
	[x]Ç[y]¹Æ	[x] = [y]	Пар. высказывания, < X, ~>, x,y,zÎX
	$ биекция 1X :X«Y* = X Í Y	[X] £ [Y]	Пар. высказывания, X,YÎObS
	Фактор-м. - м. парабол {x = - y2 + c}	Фактор-м. - м. парабол {y = - x2 + c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 + y12 = x2 + y22
	Фактор-м. - м. прямых {x = c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {y = c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û y1 = y2
	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| x = 1}	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| y = 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û y1 = y2

3. ТЕСТ ОЭ-3

№	А	В	Дополнительная информация
	Разбиение м. X, X = ëû Xa aÎA	Подмножество {Xa} Í Ã(X ) | X = È Xa aÎA & Xa ÇXb = Æ при a ¹ b	Понятия, < X, ~>
	Класс эквивалентности м. X по отношению равномощности	Класс эквивалентности элем-та x, [ x ]	Понятия
	Множество счетной мощности	Счетное м.	Понятия
	Множество мощности континуума	Счетное м.	Понятия
	R	Z	Мощность м.
	[0,1]´[0,3]	[-1,1]´[-3,3]	Мощность м.
	R2	Z3	Мощность м.
	z ~ x & z ~ y	x ~ y	Пар. высказывания, < X, ~>, x,y,zÎX
	Фактор-м. - м. парабол {x = - y2 + c}	Фактор-м. - м. парабол {y = - x2 + c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 + y12 = x2 + y22
	Фактор-м. - м. прямых {y = c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {x = c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 = x2
	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| x = - y2+2}	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y> | x = - y2 + 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2>Ûx1+y12=x2 + y22
	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| x = 1}	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| y = 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 = x2

4. ТЕСТ ОЭ-4

№	А	В	Дополнительная информация
	Отношение эквивалентности в ObS : X ~ Y : = $ биекция ¦: X « Y	Рефлексивное, транзитивное отношение	Понятия
	Счетное м.	Бесконечное м.	Понятия
	Множество мощности континуума	Мощность континуума, c	Понятия
	Мощность [N]	Мощность [ [0,1] ]	Понятия
	[0, + ¥)	[0,1]	Мощность м.
	[0,1]´{0, 3}	{0, 1}´{0, 3}	Мощность м.
	[0,1]´{1,2}	Ã({1,2,3})	Мощность м.
	[x] Í [y]	x ~ y	Пар. высказывания, < X, ~>, x,y,zÎX
	Фактор-м. - м. прямых {y = - x + c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {x = y + c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 - y1 = x2 - y2
	Фактор-м. - м. прямых {x = c| cÎR}	Фактор-м. - м. прямых {y = c}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û y1 = y2
	Класс эквивалентности [<1,2>] = {<x,y>| y = - x + 1}	Класс эквивалентности [<1,2>] = {<x,y>| x = y - 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û x1 - y1 = x2 - y2
	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| x = 1}	Класс эквивалентности [<1,1>] = {<x,y>| y = 1}	Высказывания, <x1,y1>~<x2,y2> Û y1 = y2

ã Калмыков А.А. 2005. m_oe.doc