Сведения о приближенных вычислениях 3 страница

Тогда период колебаний стержня

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Произведем вычисления:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru с.

Ответ: Т = 1,02 с.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ТЕРМОДИНАМИКА

Основные законы и формулы

· Количество вещества[1] тела (системы)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему);

NA – постоянная Авогадро (NA = 6.02×1023 моль-1).

· Молярная масса вещества

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где m – масса однородного тела (системы);

n – количество вещества этого тела.

· Относительная молекулярная масса вещества

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

где ni – число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества;

Ari – относительная атомная масса этого вещества.

Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

· Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества

M=Mr×10-3 кг/моль.

· Количество вещества смеси газов

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где ni, mi, Mi – соответственно количество вещества, масса, молярная масса i-го компонента смеси.

· Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где m – масса газа;

M – молярная масса газа;

R – молярная газовая постоянная;

n – количество вещества;

T – термодинамическая температура.

· Основные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const) PV=const,

или для двух состояний газа P1V1=P2V2;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: P=const; m=const)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru =const,

или для двух состояний Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ;

в) закон Шарля (изохорный процессе: V=const, m=const)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru =const,

или для двух состояний Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ;

г) объединенный газовый закон (m=const)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru =const, или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где P1, V1, T1 – давление, объем и температура газа в начальном состоянии;

P2, V2, T2 – те же величины в конечном состоянии.

· Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

P=P1+P2+…+Pn,

где Pi – парциальные давления компонентов смеси;

n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

· Концентрация молекул

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе;

r – плотность вещества;

V – объем системы.

Формула справедлива не только для газов, но и для агрегатного состояния вещества.

· Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры:

p=nkT,

где k – постоянная Больцмана ( Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ).

· Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где n – концентрация молекул;

mo – масса одной молекулы;

< Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru кв> – средняя квадратичная скорость молекул;

<Eк> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа.

· Средняя полная кинетическая энергия молекулы газа

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

где i - число степеней свободы молекулы. (i=iпост+iвращ)

· Скорости молекул:

а) Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru - средняя арифметическая;

б) Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru - средняя квадратичная;

в) Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru - наиболее вероятная,

где mo – масса одной молекулы.

· Относительная скорость молекулы

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

где Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru – скорость данной молекулы.

· Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 секунду:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где d – эффективный диаметр молекулы;

n – концентрация молекул;

< Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru > – средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

· Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа (жидкости) площадью S;

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru – градиент скорости;

h – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость).

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

· Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме (CV) и постоянном давлении (CP):

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

· Связь между удельной c и молярной Cn теплоемкостями

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

· Уравнение Майера для молярных теплоемкостей газа

CP – CV = R .

· Внутренняя энергия идеального газа

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где CV – теплоемкость одного моля газа при постоянном объеме.

· Первое начало термодинамики

Q = DU + A,

где Q – количество теплоты, сообщенное системе (газу) или отданное ею;

DU – изменение внутренней энергии системы;

A – работа, совершенная системой против внешних сил.

· Изменение внутренней энергии идеального газа:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

· Полная работа при изменении объема газа

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где V1 и V2 – соответственно начальный и конечный объемы газа.

· Работа газа:

а) при изобарном процессе

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ;

б) при изотермическом процессе

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ;

в) при адиабатическом процессе

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где T1, T2 и V1, V2 – соответственно начальные и конечные температура и объем газа;

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru – показатель адиабаты.

· Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):

P×Vg=const; T×Vg-1=const; Tg×P1-g=const.

· Термический КПД для кругового процесса (цикла)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где Q1 – количество теплоты, полученное системой от нагревателя;

Q2 – количество теплоты, отданное системой холодильнику;

A – работа, совершаемая за цикл.

· Термический КПД цикла Карно

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где T1 – температура нагревателя;

T2 – температура холодильника.

· Изменение энтропии при равновесном переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для серной кислоты:

1) относительную молекулярную массу Mr;

2) молярную массу М.

Решение.

1. Относительная молекулярная масса вещества определяется по формуле Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

где ni – число атомов i-го элемента, входящих в молекулу;

Аr,i – относительная атомная масса i-го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4. Следовательно, Mr=n1Ar,1+n2Ar,2+n3Ar,3.

Из формулы серной кислоты следует, что n1=2 (два атома водорода), n2=1 (один атом серы) и n3=4 (четыре атома кислорода). Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода находим в таблице Д. И. Менделеева: Ar,1=1; Ar,2=32; Ar,3=16.

Тогда получим: Mr=2×1+1×32+4×16=98.

2. Молярную массу серной кислоты находим по формуле:

M=Mr×10-3 кг/моль.

Следовательно, M=98×10-3 кг/моль.

Пример 2. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1=1 MПа и при температуре Т1=300 К. После того, как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до T2=290 К. Определить давление p2 гелия, оставшегося в баллоне.

Дано: Решение:
V=10 л = 10-2 м3 p1=1МПа=106Па T1=300К m=10г=10-2кг Т2=290К Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для конечного состояния газа: Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (1) где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии;

М – молярная масса гелия (M=4×10-3 кг/моль);

R – молярная газовая постоянная (R=8,31 Дж/моль×К).

Искомое давление:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (2)

Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона: m2=m1-m.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния получаем: Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . Тогда Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Подставив это выражение в уравнение (2), найдем:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Произведем вычисления:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Ответ: p2=0,364 МПа.

Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию <eвр> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4 г.

Дано: Решение:
Т=350 К m=4 г=4×10-3 кг На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,
<eвр>-? Ек-?

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура газа.

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

Eк=<eвр>×N. (2)

Число всех молекул газа

N=NA×n =NA× Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (3)

где NA – постоянная Авогадро;

n – количество вещества;

m – масса газа;

М – молярная масса газа.

Подставив выражение (3) в формулу (2), получаем:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М=32×10-3 кг/моль; k=1,38×10-23 Дж/К; NA=6,02×1023 моль-1:

<e>=1,38×10-23×350 Дж = 4,83×10-21 Дж,

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Ответ: <eвр>=4.83×10-21 Дж; Ек=364 Дж.

Пример 4. Кислород массой m=2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение DU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.


Дано: Решение:
m=2 кг V1=1 м3 p1=0,2 МПа=2×105 Па p1=const V2=3 м3 V2=const p3=0,5 МПа=5×105 Па Изменение внутренней энергии газа Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , где i – число степеней молекулы газа (для двухатомных молекул кислорода i=5); DT=T3–T1 – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.  
DU-? A-? Q-? p(V)-?

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru :

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru и Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Тогда

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Произведем вычисления:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Работа расширения газа при постоянном давлении (p1=const) выражается формулой A1=p1×DV=p1(V2–V1). Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2=0. Следовательно, полная работа, совершенная газом:

А=А121=p1(V2–V1).

Произведем вычисления:

A=2×105×(3-1) Дж = 4×105 Дж.

Согласно первому закону термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии DU и работы A: Q=DU+A. Следовательно,

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru Q=32,5×105 Дж + 4×105 Дж =

=36,5×105 Дж =3,65 МДж.

График процесса приведен на рисунке 11.

Рис. 11

Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T1=300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2=5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Дано: Решение:
M=0,02 кг Т1=300 К n1=5 n2=5 Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (1)
T2-? A1-? A2-?

где g – показатель адиабаты, Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ;

i – число степеней свободы молекулы.

Для водорода как двухатомного газа i=5. Следовательно, Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . Так как Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , то Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , откуда

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (2)

Работа А1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (3)

где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме;

М – молярная масса газа.

Работа А2 при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (4)

где Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Подставляя числовые значения величин в выражения (2), (3) и (4), произведем вычисления, учитывая, что для водорода М=2×10-3 кг/моль.

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru К .

(50,4=x; или lg x=0,4lg5=0,2796, тогда x=1,91; 50,4=1,91)

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

адиабата
= – 20998Дж= –21кДж.

 
 
Знак «–» показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.

изотерма
 
График процесса представлен на рисунке 12.

 
 
Рисунок 12

Пример 6. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Решение:
Tн=500 К Тх=400 К Qн=1675 Дж t=1 c КПД машины, работающей по циклу Карно, определяется по формуле Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (1)
h-? N-?

или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (2)

Полная мощность машины

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , (3)

или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . (4)

Подставляя числовые значения в выражения (1) и (4), получим:

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ; h=20%.

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Ответ: h=20%; N=335 Вт.

Пример 7. Найти изменение энтропии при переходе 8 г кислорода от объема 10 л при температуре 80°С к объему 40 л при температуре 300оС.

Дано: Решение:
m=8 г=8×10-3 кг V1=10 л=10-2 м3 T1=353 К V2=40 л=4×10-2 м3 T2=573 К Изменение энтропии: Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . Согласно первому закону термодинамики dQ = dU + dA

где Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru – изменение внутренней энергии газа;

dA = p × dV – работа газа при изменении объема.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru находим давление газа Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru . Тогда Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru , а Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Следовательно Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru ,

или Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru .

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода i=5; М=32×10-3 кг/моль.

Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru

Ответ: DS = 5,4 Дж/К.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1

Вар. Номера задач

101.Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru o=4м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью Сведения о приближенных вычислениях 3 страница - student2.ru о вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

Наши рекомендации