Методические указания к задаче №4

Линейным уравнением называется уравнение вида

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

где Методические указания к задаче №4 - student2.ru и b – числа, Методические указания к задаче №4 - student2.ru - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

Методические указания к задаче №4 - student2.ru (1)

где Методические указания к задаче №4 - student2.ru , Методические указания к задаче №4 - student2.ru - числа, Методические указания к задаче №4 - student2.ru - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы называется набор чисел Методические указания к задаче №4 - student2.ru которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Т.е. систему уравнений (1)

приводят к эквивалентной системе

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с их коэффициентами в матричной форме, используя расширенную матрицу:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Пример. Решить методом Гаусса системы линейных уравнений.

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Преобразования Гаусса проведем над расширенной матрицей.

Прямой ход.

Методические указания к задаче №4 - student2.ru Методические указания к задаче №4 - student2.ru Методические указания к задаче №4 - student2.ru ~ Методические указания к задаче №4 - student2.ru – ~

~ Методические указания к задаче №4 - student2.ru ~ Методические указания к задаче №4 - student2.ru ~

~ Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Обратный ход. Перейдем к системе уравнений.

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Проверка. 8 – 8 + 6 = 6 (верно), 16 + 12 – 8 = 20 (верно),

24 – 8 – 10 = 6 (верно).

Ответ. Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Правило Крамера

Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных: (1)

Назовем главным определителем такой системы определитель Методические указания к задаче №4 - student2.ru , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru Методические указания к задаче №4 - student2.ru , (2)

а определителем Методические указания к задаче №4 - student2.ru - определитель, полученный из (2) заменой столбца коэффициентов при xj на столбец свободных членов. Тогда:

1) Если Методические указания к задаче №4 - student2.ru Методические указания к задаче №4 - student2.ru система (1) имеет единственное решение, определяемое по формулам: Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

2) Если Методические указания к задаче №4 - student2.ru = Методические указания к задаче №4 - student2.ru =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если Методические указания к задаче №4 - student2.ru = 0, а хотя бы один из Методические указания к задаче №4 - student2.ru Методические указания к задаче №4 - student2.ru система не имеет решений.

Пример .

Решить систему по правилу Крамера: Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Главный определитель

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем Δх, Δу и Δz:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Отсюда

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы

Рассмотрим линейную систему (1) и введем следующие обозначения:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru - матрица системы, Методические указания к задаче №4 - student2.ru - столбец неизвестных,

Методические указания к задаче №4 - student2.ru - столбец свободных членов. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. (3)

Если матрица A – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу Методические указания к задаче №4 - student2.ru , причем Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Пусть матрица Методические указания к задаче №4 - student2.ru – невырожденная, тогда

Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Умножим обе части равенства (3) слева на Методические указания к задаче №4 - student2.ru Получим

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Но Методические указания к задаче №4 - student2.ru тогда Методические указания к задаче №4 - student2.ru , а поскольку Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Итак,решением матричного уравнения (3) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (1).

Пример .

Решить систему Методические указания к задаче №4 - student2.ru с помощью обратной матрицы.

Составим матрицу системы:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

ΔА = -51 ≠ 0, следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем матрицу А-1:

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

Тогда Методические указания к задаче №4 - student2.ru .

Если Методические указания к задаче №4 - student2.ru , то исходная система превращается в матричное уравнение АХ = В, решение которого
Х = А-1В. Следовательно,

Методические указания к задаче №4 - student2.ru

то есть х = 3, у = 1, z = 1.

Наши рекомендации