Приклад 4. Метод Рунге–Кутта.

Обчислити методом Рунге–Кутта струми та напругу на ємності в електричному колі (рис. 2.1), яке в момент часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru вмикається на ЕРС Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для інтервалу часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Параметри схеми: Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru До моменту комутації струм Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та напруга на ємності Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язання.

Крок інтегрування приймаємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Запишемо на підставі законів Кірхгофа рівняння, які описують стан електричного кола, у нормальній формі Коші

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Алгоритм розрахунку такий:

– обчислюємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– знаходимо значення струмів віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Перша ітерація.

обчислюємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

обчислюємо значення струмів віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Друга ітерація.

Знаходимо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

обчислюємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

обчислюємо значення струмів віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Третя ітерація.

Визначаємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розраховуємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

обчислюємо значення струмів віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо значення струмів у вітках електричного кола та напругу на ємності, залежності яких показані на рис. 2.8 та рис. 2.9 відповідно.

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.8. Струми у вітках електричного кола під час вмикання

його на синусоїдну ЕРС

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.9. Напруга на ємності ◄

Приклад 5. Метод Кутта–Мерсона.

Обчислити методом Кутта–Мерсона струми та напругу на ємності в електрич­ному колі (рис. 2.1), яке в момент часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru вмикається на ЕРС Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для інтервалу часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Параметри схеми: Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru До моменту комутації струм Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та напруга на ємності Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язання.

Крок інтегрування приймаємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Запишемо на підставі законів Кірхгофа рівняння, які описують стан електричного кола, у нормальній формі Коші

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Алгоритм розрахунку такий:

– визначаємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо струми віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Перша ітерація.

Розраховуємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо струми віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Друга ітерація.

Визначаємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Знаходимо струми віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Третя ітерація.

обчислюємо коефіцієнти приростів

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Визначаємо струми віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо значення струмів у вітках електричного кола та напругу на ємності, залежності яких показані на рис. 2.10 та рис. 2.11 відповідно.

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.10. Струми у вітках електричного кола під час вмикання

його на синусоїдну ЕРС

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.11 Напруга на ємності ◄

Неявні методи

Приклад 6. Метод Ейлера.

Обчислити неявним методом Ейлера струми та напругу на ємності в електрич­ному колі (рис. 2.1), яке в момент часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru вмикається на ЕРС Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для інтервалу часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Параметри схеми: Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru До моменту комутації струм Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та напруга на ємності Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язання.

Крок інтегрування приймаємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Точність обчислення Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Записуємо рівняння, які описують стан електричного кола, у нормальній формі Коші

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Для отриманої системи рівнянь обчислюємо матрицю Якобі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Нульове наближення на кожному ітераційному кроці обчислюємо на підставі явної форми Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Робоча формула для Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -го кроку в Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -му ітераційному циклі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Алгоритм обчислення такий:

– обчислюємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru = Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– знаходимо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Якщо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru тобто менше від заданої точності, Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru В іншому разі ітераційний процес за вказаним алгоритмом продовжуємо до досягнення вказаної умови.

Перша ітерація.

Визначаємо нульове наближення на підставі явного методу Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді система рівнянь має вигляд

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо в ітераційному циклі значення струмів віток та напруги на ємності на першому кроці за таким алгоритмом:

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru продовжуємо ітераційний процес.

Другий крок в ітераційному циклі:

– визначаємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– знаходимо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку того, чи досягнута точність, тобто Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки точність досягнуто, отримуємо значення струмів віток та напругу
на ємності на першому кроці ітерації Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Друга ітерація.

Обчислюємо нульове наближення на підставі явного методу Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді система рівнянь має вигляд

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Визначаємо в ітераційному циклі значення струмів віток та напруги на ємності на першому кроці за таким алгоритмом:

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо прирости струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru про­довжуємо ітераційний процес.

Другий крок в ітераційному циклі:

– обчислюємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– визначаємо прирости струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку того, чи досягнута точність, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки точність досягнуто, отримуємо значення струмів віток та напругу на ємності на другому кроці ітерації Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Третя ітерація.

Обчислюємо нульове наближення з використанням явного методу Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді система рівнянь має вигляд

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо в ітераційному циклі значення струмів віток та напруги на ємності на першому кроці за таким алгоритмом:

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– визначаємо прирости струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru продовжу­ємо ітераційний процес.

Другий крок в ітераційному циклі:

– визначаємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо прирости струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напругу на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку того, чи досягнута точність, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки точність досягнуто, отримуємо значення струмів віток та напругу на ємності на другому кроці ітерації Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо значення струмів у вітках електричного кола та напругу на ємності, залежності яких показані на рис. 2.12 та рис. 2.13 відповідно.

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.12. Струми у вітках електричного кола під час вмикання

його на синусоїдну ЕРС

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.13. Напруга на ємності ◄

Приклад 7. Метод ФДН.

Обчислити неявним методом ФДН другого порядку струми та напругу на ємності в електричному колі (рис. 2.1), яке в момент часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru вмикається на ЕРС Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для інтервалу часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Параметри схеми: Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru До моменту комутації струм Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та напруга на ємності Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язання.

Крок інтегрування приймаємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Точність обчислення Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рівняння, які описують стан електричного кола

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Апроксимуємо в отриманих рівняннях стану похідні за формулою (10.161), в результаті чого одержуємо систему скінченних рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

чи в матрично-векторній формі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Для постійного кроку Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru на підставі (10.178) записуємо в матрично-векторній формі систему рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо постійні коефіцієнти Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

апроксимовану систему рівнянь розв’яжемо на підставі алгоритму Ньютона–Рафсона

Матриця Якобі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Робоча формула для Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -го кроку в Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -му ітераційному циклі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

чи в розгорнутому вигляді

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

З отриманої системи рівнянь, використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо прирости, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Знаходимо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку того, чи досягнута точність на Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -му кроці Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru ітерації, якщо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru тобто менше від заданої точності, Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru В іншому випадку ітераційний процес за вказаним алгоритмом продовжуємо до досягнення заданої точності.

Щоб забезпечити збіжність ітераційного процесу розв’язання апроксимованої сис­теми рівнянь неявним методом ФДН другого порядку з використанням методу Ньютона–Рафсона, нульове наближення виконуємо неявним методом Ейлера першого порядку.

Записуємо вихідну систему рівнянь у нормальній формі Коші

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Для отриманої системи рівнянь обчислюємо матрицю Якобі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Нульове наближення на кожному ітераційному кроці визначаємо на підставі явної форми Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Робоча формула для Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -го кроку в Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -му ітераційному циклі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Алгоритм обчислення такий:

– знаходимо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru = Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– обчислюємо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Якщо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru тобто менше від заданої точності, Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru В іншому випадку ітераційний процес за вказаним алгоритмом продовжуємо до досягнення заданої точності.

Перша ітерація.

перший крок інтегрування здійснюємо за початковою умовою Коші неявним методом Ейлера.

Обчислюємо нульове наближення для неявного методу Ейлера першого порядку на підставі явного методу Ейлера

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

У розгорнутому вигляді система рівнянь має вигляд

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо в ітераційному циклі значення струмів віток та напругу на ємності на першому кроці за таким алгоритмом:

– вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– знаходимо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru продовжуємо ітерацій­ний процес.

Другий крок в ітераційному циклі:

– обчислюємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

– значення струмів віток та напруги на ємності

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку того, чи досягнута точність, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки точність досягнута, отримуємо значення струмів віток та напругу
на ємності на першому кроці ітерації Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Здійснивши перший крок інтегрування за початковою умовою Коші неявним методом Ейлера, другий крок інтегрування здійснюємо методом ФДН другого порядку за двома попередніми кроками.

Збіжність ітераційного процесу за методом Ньютона–Рафсона забезпечується використанням екстраполяційної формули (10.182) [1, 2] для певного нульового наближення Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru яке досить близьке до Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Друга ітерація неявним методом ФДН другого порядку.

Обчислюємо матрицю Якобі для вихідної системи рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Для постійного кроку Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru на підставі (10.185) записуємо в матрично-векторній формі систему рівнянь, з якої знайдемо коефіцієнти Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для двох попередніх значень координат, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Початкове наближення для ітераційного циклу методу Ньютона–Рафсона

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо вектор нев’язок в ітераційному циклі

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Записуємо в матрично-векторній формі вихідну апроксимовану систему рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку.

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru про­довжуємо ітераційний цикл.

Другий крок в ітераційному циклі

Визначаємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Записуємо в матрично-векторній формі вихідну апроксимовану систему рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Визначаємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку.

Оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Третя ітерація

Обчислюємо матрицю Якобі для вихідної системи рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Оскільки обчислено значення координат для трьох попередніх точок, то почат­кове наближення для ітераційного циклу методу Ньютона–Рафсона визначатимемо за трьома попередніми координатами.

на підставі (10.185) записуємо в матрично-векторній формі систему рівнянь, з якої знайдемо коефіцієнти Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru для трьох попередніх значень координат, тобто

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Початкове наближення

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Знайдемо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Записуємо в матрично-векторній формі вихідну апроксимовану систему рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Знаходимо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru продовжуємо ітераційний цикл.

Другий крок в ітераційному циклі

Обчислюємо вектор нев’язок

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Записуємо в матрично-векторній формі вихідну апроксимовану систему рівнянь

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо прирости

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Обчислюємо значення координат

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Виконуємо перевірку, оскільки Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Струм, який протікає через конденсатор

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Використовуючи символьну математику MathCad, обчислюємо значення струмів у вітках електричного кола та напругу на ємності, залежності яких показані на рис. 2.14 та рис. 2.15 відповідно.

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.14. Струми у вітках електричного кола під час вмикання

його на синусоїдну ЕРС

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Рис. 2.15. Напруга на ємності ◄

План роботи

1. Ознайомитися з теоретичними відомостями до лабораторної роботи.

2. Сформувати завдання згідно вказаного викладачем варіанту.

3. Сформувати математичну модель.

4. Використовуючи систему символьної математики МаthCad обчислити струми віток електричного кола та напругу на ємності.

5. висновки.

Оформлення звіту

У звіті необхідно навести:

– мету та план роботи;

– короткі теоретичні відомості;

– схему електричного кола;

– математичну модель у методі змінних стану;

– результати розрахунку;

– висновки.

5. Контрольні запитання

1. Якими рівняннями описують перехідні процеси?

2. Запишіть загальну форму системи диференційних рівнянь у неявному вигляді.

3. Як звести систему диференційних рівнянь, записаних у неявному вигляді, до явної форми чи нормальної форми Коші?

4. Як звести систему диференційних рівнянь однієї змінної Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru -го порядку до нормаль­ної форми Коші?

5. Які додаткові умови необхідно знати під час виділення одного конкретного розв’язку системи диференційних рівнянь?

6. Запишіть алгоритм розв’язання диференційного однорідного рівняння першого порядку зі сталими коефіцієнтами.

7. Запишіть алгоритм розв’язання диференційного однорідного рівняння вищого порядку зі сталими коефіцієнтами.

8. Запишіть алгоритм розв’язання диференційного неоднорідного рівняння першого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru 9. В чому полягає суть методу накладання під час розв’язання диференційних неод­норідних рівнянь?

10. Як принцип накладання використовується для розв’язання лінійних диференцій­них рівнянь зі сталими коефіцієнтами у матрично-векторній формі?

11. Відносно яких змінних складають рівняння, які описують стан електричного кола, і як вони називаються?

12. У чому переваги методу змінних стану під час аналізу стану електричних кіл?

13. Що характеризують змінні стану?

14. Запишіть загальне розв’язання рівнянь змінних стану.

15. У чому полягає суть числових методів розв’язання диференційних рівнянь?

16. Як поділяються числові методи розв’язання диференційних рівнянь?

17. Запишіть загальну формулу дно крокових числових методів розв’язання диферен­ційних рівнянь.

18. Запишіть формулу розв’язання диференційних рівнянь методом Ейлера.

19. Чим визначається ефективність числових методів розв’язання диференційних рівнянь?

20. Запишіть формулу розв’язання диференційних рівнянь методом Ейлера–Коші.

21. Наведіть формулу розв’язання диференційних рівнянь методом Ейлера–Коші з ітераціями.

22. Наведіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь методом Рунге–Кутта.

23. Запишіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь методом Кутта–Мерсона.

24. Як отримують робочі формули розв’язання диференційних рівнянь дно крокових неявних методів?

25. Наведіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь неявним методом Ейлера.

26. Запишіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь неявним методом Ейлера–Коші.

27. Які ітераційні поліноми використовують для виведення робочих формул багато­крокових явних методів?

28. Які методи належать до багатокрокових неявних методів?

29. Запишіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь неявними число­вими методами.

30. Наведіть робочі формули розв’язання диференційних рівнянь методом диферен­ціювання назад.

Список літератури

1. Кириленко О.В., Сегеда М.С., Буткевич О.Ф., Мазур Т.А. Математичне моделювання в електроенергетиці: Підручник / – Львів: Вид-во нац. ун-ту «Львівська політехніка», 2010. – 608 с.

2. Кириленко О.В., Сегеда М.С., Буткевич О.Ф., Мазур Т.А. Математичне моделювання в електроенергетиці: Підручник / 2 – вид. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2013. – 608 с.

3. Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики – 3-е вид., перероб. і доп. – Львів: Вища шк., 1989. – 464 с.

4. Сегеда М.С. Математичне моделювання в електроенергетиці: Навч. посібник / Мін. освіти і науки України; Національний університет “Львівська політехніка” – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2002. – 300 с.

5. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электрических схем (алгоритмы и вычислительные методы). – М.: "Энергия", 1980. – 640 с.

Завдання

Для заданого електричного кола під час комутації обчислити струми віток електричного кола та напругу на ємності в інтервалі часу Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Координати та параметри схеми задані в таблиці вихідних даних до завдань: Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru . Значення Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru та Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru до комутації визначається зі схеми. Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Варіанти схем електричних кіл Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Приклад 4. Метод Рунге–Кутта. - student2.ru

Вихідні дані до завдань

Наши рекомендации