Дифференциальное исчисление функции

одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда Дифференциальное исчисление функции - student2.ru тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru ,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Уравнение касательной к кривой: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru Уравнение нормали к кривой: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения Дифференциальное исчисление функции - student2.ru при условии, что это отношение существует.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

2)(xm)¢ = mxm-1; 10) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

3) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 11) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

4) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 12) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

5) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 13) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

6) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 14) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

7) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 15) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

8) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru 16) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Тогда Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Доказательство.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Теорема доказана.

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Тогда (lnïxï)¢= Дифференциальное исчисление функции - student2.ru , т.к. Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Учитывая полученный результат, можно записать Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Отношение Дифференциальное исчисление функции - student2.ru называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

По полученной выше формуле получаем: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Производные этих функций: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Окончательно:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

т.к. g¢(y) ¹ 0 Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Известно, что Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

По приведенной выше формуле получаем:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Т.к. Дифференциальное исчисление функции - student2.ru то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Тогда можно записать: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4) Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Сначала преобразуем данную функцию: Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции - student2.ru

Формула Тейлора.

Наши рекомендации