Ифференциальное исчисление функций нескольких переменных
лементы линейной алгебры и аналитической геометрии
11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1) длину ребра АВ;
2) угол между ребрами АВ и AS;
3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4) площадь основания пирамиды;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой АВ;
7) уравнение плоскости АВС;
8) проекцию вершины S на плоскость АВС;
9) длину высоты пирамиды.
11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).
12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).
13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).
14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).
15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).
16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).
17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).
18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).
19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).
20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).
41-50.На плоскости дана линия своим уравнением в полярной системе координат r=r(φ). Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ допустимые значения через промежуток 
, начиная от φ=0 до φ=2π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить какая это линия.
41. 
. 42. 
.
43. 
. 44. 
.
45. 
. 46. 
.
47. 
. 48. 
.
49. 
. 50. 
.
51-60. Дана система линейных уравнений: 
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в 
алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3+a=0.
91. 
. 92. 
.
93. 
. 94. 
.
95. 
. 96. 
.
97. 
. 98. 
.
99. 
. 100. 
.
101-105. Построить график функции 
преобразованием графика функции 
101. 
; 102. 
;
103. 
; 104. 
;
105. 
.
106-110.Построить график функции 
преобразованием графика функции 
.
106. 
107. 
;
108. 
109. 
;
110. 
.
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
112. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
113. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
114. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
115. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
116. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
117. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
118. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
119. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
120. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
131 – 140. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
131. 
132. 
133. 
134. 
135. 
136. 
137. 
138. 
139. 
140. 
2. Производная и её приложение
141-150. Найти производные 
данных функций.
141. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
142. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
143. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
144. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
145. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
146. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
147. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
148. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
149. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
150. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
151-160. Найти и 
.
151. а) 
; б) 
.
152. а) 
; б) 
.
153. а) 
; б) 
.
154. а) 
; б) 
.
155. а) 
; б) 
.
156. а) 
; б) 
.
157. а) 
; б) 
.
158. а) 
; б) 
.
159. а) 
; б) 
.
160. а) 
; б) 
.
риложения дифференциального исчисления
101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. 
. 192. 
.
193. 
. 194. 
.
195. 
. 196. 
.
197. 
. 198. 
.
199. 
. 200. 
.
ифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция 
.
Показать, что 
.
232. Дана функция 
.
Показать, что 
.
233. Дана функция 
.
Показать, что 
.
234. Дана функция 
.
Показать, что 
.
235. Дана функция 
.
Показать, что 
.
236. Дана функция 
. Показать, что 
.
.
237. Дана функция 
.
Показать, что 
.
238. Дана функция 
.
Показать, что 
.
239. Дана функция 
.
Показать, что 
.
240. Дана функция 
.
Показать, что 
.
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x2+y2-9xy+27; 0≤x≤3, 0≤y≤3.
252. z=x2+2y2+1; x≥0, y≥0, x+y≤3.
253. z=3-2x2 -xy-y2; x≤1, у≤х, у≥0.
254. z=x2+3y2+x-y; x≥1, y≥-1, х+y≤1.
255. z=x2+2xy +2y2; -1≤x≤1, 0≤y≤2.
256. z=5x2-3xy +y2+4; x≥-1, y≥-1, х+y≤1.
257. z=10+2xy -x2; 0≤y≤4- x2.
258. z=x2+2xy -y2+4 x; x≤0, y≤0, х+y+2≥0.
259. z=x2 +xy-2; 4 x2-4≤y≤0.
260. z=x2+xy; -1≤x≤1, 0≤y≤3.
261-270.Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор 
. Найти: 1) 
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. 
.
262. 
.
263. 
.
264. 
.
265. 
.
266. 
.
267. 
.
268. 
.
269. 
.
270. 
.
5. Неопределённый и определённыё интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
282. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
283. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
284. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
285. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
286. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
287. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
288. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
289. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
290. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
301. 
. 302. 
.
303. 
. 304. 
.
305. 
. 306. 
.
307. 
. 
308. 
.
309. 
. 310. 
.
ифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. 
. 322. 
.
323. 
. 324. 
.
325. 
. 326. 
.
327. 
. 328. 
.
329. 
. 330. 
.
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
, 
.
341. 
; 
, 
.
342. 
; 
, 
.
343. 
; , .
344. 
; 
, .
345. 
; , 
.
346. 
; , .
347. 
; , .
348. 
; 
, .
349. 
; , 
.
350. 
; 
, .