Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Это уравнение равносильно уравнению Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , откуда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Производная второго порядка не существует при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . В итоге получили три критические точки: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12):

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ,

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ,

 
  Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

При переходе через точку Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru вторая производная меняет знак, следовательно, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru – точка перегиба графика функции. На интервалах Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru график функции является выпуклым, а на интервалах Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru – вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость.

Таблица 5

х Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru -1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru - Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru + - Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru +
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru выпуклый Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru вогнутый выпуклый Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru вогнутый

8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Теперь построим график функции (рис. 13).

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Пример 8.2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru и построить ее график.

Решение.

1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , получаем область определения функции: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru : Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

2) Так как функция определена только для положительных значений Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , то она не является ни четной ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru : Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , откуда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Точки пересечения с осью Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru не существует, так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Отсюда прямая Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru (ось Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ,

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Полученная прямая Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru (ось Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ) является горизонтальной асимптотой графика функции

5) Найдем Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Производная равна нулю, когда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , то есть при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Производная существует на всей области определения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Следовательно, существует только одна критическая точка.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru на всех интервалах (рис. 14):

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru функция возрастает, а на Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru – убывает.

6) Найдем Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Производная второго порядка равна нулю, если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Отсюда получаем: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru на всех полученных интервалах:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru . Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

При переходе через критическую точку Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru график является выпуклым, а на Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru – вогнутым.

7) Найдем значения функции при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Для более точного построения графика вычислим значения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru в дополнительной точке: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru (рис. 16).

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Расчетно-графическое задание

Вариант 1

Задание 1.Вычислить производные заданных функций.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru    

Задание 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 3.Найдите производную функции указанного порядка.

1) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ; 2) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Задание 4.Составить уравнение касательной, проведенной к кривой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , парал­лельно прямой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

.

Задание 5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 6.Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 7.Исследовать функции и построить их графики.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Вариант 2

Задание 1.Вычислить производные заданных функций.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru    

Задание 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 3.Найдите производную функции указанного порядка.

1) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ; 2) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

Задание 4.Составить уравнение касательной, проведенной к кривой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , параллельно прямой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru .

.

Задание 5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 6.Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 7.Исследовать функции и построить их графики.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Вариант 3

Задание 1.Вычислить производные заданных функций.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru    

Задание 2. Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 3.Найдите производную функции указанного порядка.

1) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ; 2) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ,

Задание 4.Составить уравнение касательной, проведенной к кривой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , параллельно прямой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

.

Задание 5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 6.Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 7.Исследовать функции и построить их графики.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Вариант 4

Задание 1.Вычислить производные заданных функций.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru    

Задание 2.Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 3.Найдите производную функции указанного порядка.

1) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ; 2) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru ,

Задание 4.Составить уравнение касательной, проведенной к кривой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru , параллельно прямой Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 5.Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru
4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5 страница - student2.ru

Задание 6.Найти наименьшее и наибольшее значение функции в указанных промежутках.

Наши рекомендации