Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции

В случае несовершенной конкуренции фирма имеет возможность влиять на цену продукции путем варьирования выпуска своей продукции (монополия), либо на цену затрат путем варьирования своих покупок данного вида затрат (монопсония), так что

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru ,

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru .

Тогда задача фирмы в условиях несовершенной конкуренции может быть представлена в виде:

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru

где Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru есть производственная функция (выпуск фирмы).

В условиях совершенной конкуренции цена на единицу продукции фирмы не зависит от объема производства q данной фирмы, а определяется рынком и постоянна, то есть Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru .

Следовательно, доход фирмы будет равен Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru доход фирмы является линейной функцией объема выпуска q.

В условиях совершенной конкуренции оптимальный уровень выпуска Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru является решением задачи

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru

Необходимое условие экстремума функции (условие первого порядка), чтобы производная прибыли П по переменной q равнялась нулю:

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru .

Решение этого уравнения приводит к тому, что цена единицы выпуска Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru равняется предельным издержкам:

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru .

Достаточное условие экстремума функции (условие второго порядка) утверждает, что предельные издержки должны возрастать в этой точке:

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru

то есть кривая МС – вогнута (выпукла вниз).

Запишем прибыль производителя в общем виде: Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru , где Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – прибыль,

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – выручка,

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – для рынка совершенной конкуренции;

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – для рынка монополии;

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – совокупные издержки, Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru ,

где Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – переменные издержки; Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – постоянные издержки.

Тогда задачу максимизации: Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru решаем стандартными методами, известными из курса дисциплины «Математический анализ».

Может быть использована следующая схема решения задачи:

1) находим производную Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru ;

2) приравниваем ее к нулю: Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru = 0;

3) находим значения Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – точка экстремума (проверяя, что это точка максимума);

4) Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru – рассчитываем максимальную прибыль.

Пример 7. Общие издержки фирмы для производства продукции в объеме Q единиц определяются следующей зависимостью:

TC(Q) = 31 + 6∙Q + 5∙Q2.

Фирма может реализовать любой объем произведенной продукции. При этом объем реализации продукции не влияет на рыночную цену P0 = 216. Определить максимизирующий прибыль объем производства (Q*) и соответствующую ему величину прибыли.

Решение.

По условию задачи любой объем выпускаемой продукции фирма может продать по действующей цене. Это позволяет определить функцию валовой выручки фирмы от продажи Q ед. продукции:

TR(Q) = P0∙Q = 216Q.

Прибыль, по определению, есть разница между валовой выручкой фирмы и общими издержками:

П(Q) = TR(Q) – TC(Q) = 216∙Q – (31 + 6∙Q + 5∙Q2) =

= 210∙Q – 31 – 5∙ Q2.

Исследуем данную функцию на экстремум. Для этого найдем первую и вторую производные:

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru

Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции - student2.ru , т.е. наблюдается вогнутость вверх.

Точкой глобального экстремума функции прибыли является точка Q* = 21, а вогнутость функции указывает на то, что эта точка – глобальный максимум. Таким образом, максимизирующий прибыль объем производства составляет 21 ед.

Максимальная прибыль при действующей рыночной цене составит:

П*(21) = 210∙21 – 31 – 5∙212 = 2174.

Ответ: оптимальный объем производства составляет 21 единицу, при этом прибыль максимальна и равна 2174 единицы.

Наши рекомендации