Независимость аксиомы параллельности

Требования, предъявляемые к системам аксиом.

Непротиворечивость системы аксиом.

Определение. Система аксиом называется непротиворечивой или совместной, если в ее теории Т_∑ невозможно доказать одновременно какое-нибудь утверждение А и его отрицание ^ùА. В противном случае система аксиом называется противоречивой.

Теория Т_∑ , содержащая вместе с некоторым утверждением АÎТ_∑ и отрицание этого утверждения ùАÎТ_∑ называется не классической теорией. С точки зрения здравого смысла такая теория абсурдна, так как невозможна ситуация, в которой одновременно выполняется некоторое свойство и его отрицание. Например, предмет не может быть красным и не красным одновременно, человек не может быть уставшим и отдохнувшим одновременно и т.д.

Таким образом, для того, чтобы система аксиом могла отражать реальный объект, она должна быть непротиворечивой. Но теоретическая проверка непротиво­речивости, основанная на непосредственном определении непротиворечивости, затруднительна. Действительно, перебрать все возможные утверждения некоторой теории Т_∑ практически невозможно. Например, евклидова геометрия, основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20000 утверждений, получаемых логическим путем (согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа). Т_∑ ={ А₁,А₂,...,А₂₀₀₀₀ }

Так как противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации (ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием), то получаем простое достаточное условие совместности:

Утверждение. Система аксиом Т совместна или непротиворечива, если существует хотя бы одна непротиворечивая реализация R(T) этой системы.

То есть, доказательство непротиворечивости системы аксиом Т сводится к поиску хотя бы одной непротиворечивой реализации.

Пример 1. Рассмотрим трехмерную евклидову геометрию.

1) Так как одной из ее реализаций является арифметическая модель R³, то евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Таким образом, вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.

2) Если же в качестве реализации евклидовой геометрии рассматривать окружающий нас мир, то непротиворечивость этой геометрии сводится к опытной проверке.

Заметим, что окружающий нас мир не является совсем уж евклидовым. Исследование электромагнитных явлений привели к обнаружению неевклидовых эффектов, также неевклидовость имеет место в мире гравитации. В описании этих явлений нашли свое применение законы неевклидовой геометрии Лобачевского.

Пример 2. Рассмотрим планиметрию Лобачевского. Она имеет реализацию Пуанкаре L₂. В свою очередь L₂ имеет арифметическую модель: {(x,y); y>0} –"точки", {(x-a)²+y²=k² ,y>0} – "прямые", и так далее. Следовательно, вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского сводится, как и в случае евклидовой геометрии, к непротиворечивости арифметики.

Независимость аксиоматической системы.

Определение. Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.

Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. Когда исследовались постулаты "Начал" Евклида, четвертый постулат (о конгруэнтности всех прямых углов) был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов. Тогда и возник вопрос о независимости или доказательстве пятого постулата (о парал­лельных прямых). Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из других аксиом и постулатов.

Тогда встает вопрос, как проверить независимость какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (уже проверенной на совместность).

Утверждение.Пусть Т – непротиворечивая система аксиом, и А – еще одно утверждение (аксиома). Утверждение А не зависит от системы Т, если вместе с некоторой реализацией R₁(Т,А) системы аксиом Т и утверждения А существует некоторая реализация R₂(T,^ùA) системы Т и ^ùА.

Независимость аксиомы параллельности.

Продемонстрируем применение этого достаточного условия на примере независимости аксиомы параллельности от остальных 14 аксиом планиметрии.

Обозначим Т={T₁,...,T₁₄} – система аксиом без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности.

В качестве реализации R₁(T,П) возьмем модель R² - арифметической евклидовой плоскости : R²= R₁(T,П).

В качестве реализаций R₂(T,^ùП) возьмем модель Пуанкаре L₂= R₂(T,^ùП). Существование этих реализаций: R₁(T,П) и R₂(T,^ùП), согласно достаточному условию, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии.