Общая система уравнений подземной гидромеханики

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

· уравнение неразрывности

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru ; (2.4)

· уравнение сохранения количества движения

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.5)

В уравнении (2.5):

· в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь;

· разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь;

· силу сопротивления Fcпо аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru .

Таким образом, уравнение (2.2) вырождается в следующее

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru ,

то есть, получаем уравнение, линейно связывающее скорость фильтрации с градиентом давления.

Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси:

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru , (2.6)

где р*=р+zrg, z – вертикальная координата.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившемся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru и уравнение неразрывности принимает вид

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.7)

В вышеприведенных уравнениях:

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru ;

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru ;

(a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k– единичные векторы по осям декартовой системы координат;eQ , ej , er, ez – по осям сферической системы; Q, j, r и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол Qопределяет изменение меридианного угла, а угол j– широтного.

Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.8)

2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации)

Пористая среда

В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н12 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой.

Закон Дарси имеет вид

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru , (2.9)

где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru – гидравлический напор при пренебрежении скоростным напором; р/g – пьезометрическая высота.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.10)

или в векторной форме

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru , (2.11)

где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации «с» характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.12)

или

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.13)

Из сравнения (2.10) и (2.12) имеем

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.14)

Границы применимости закона Дарси.Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

a) скорость фильтрации и градиент давления малы;

b) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=war/μ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re:w –характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды; r – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва:

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.15)

где Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru

Критическое число Рейнольдса Reкр=1–12.

Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru , (2.16)

представляющим собой отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давленияtн , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru . (2.17)

Законы фильтрации при Re > Reкр. От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение нелинейных законов фильтрации. Данные законы могут быть: одночленными и двухчленными.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.18)

где C, n – постоянные, 1£ n £ 2.

Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному закону Краснопольского:

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.19)

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.20)

где b– структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.21)

Трещинная среда

Линейный закон фильтрации.В трещинных пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

u=mтw. (2.22)

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.23)

Если использовать зависимости (2.23), (1.12), то получаем линейный закон фильтрации в трещинных средах

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.24)

Проницаемость трещинных сред равна

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.25)

Для трещинно-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма пористой и трещинной проницаемостей.

Трещинно-пористую среду следует считать деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет изменяться с изменением давления, а именно:

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru (2.26)

Данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.

Границы применимости линейного закона фильтрации.Так же, как и в пористых средах, в трещинных породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Reкр=500, а для шероховатых трещин – 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещинной среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

Общая система уравнений подземной гидромеханики - student2.ru , а Reкр=0,4. (2.27)

Наши рекомендации