Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Чайковский филиал

Федерального государственного бюджетного

Образовательного учреждения высшего профессионального образования

"Пермский национальный исследовательский политехнический университет"

(ЧФ ПНИПУ)

Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Лаборатория физики

Механика

Лабораторная работа №4

“Физический маятник”

Цель работы: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.

Краткие теоретические сведения

Физическим маятником (ФМ) – называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр масс тела).

При колебании ФМ как бы вращается вокруг оси О (рис. 4.1). (Точку О пересечения оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс С тела, называют точкой подвеса). Следовательно, движение маятника подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения:

М = Iε. (4.1)

где М – момент силы тяжести относительно оси О,

I – момент инерции маятника относительно тойже оси,

ε – угловое ускорение маятника.

Из рис. 4.1 видно, что

, (4.2)

где m – масса маятника;

– плечо силы тяжести mg;

b – расстояние от точки подвеса О до центра масс.

Знак “–” означает, что вращающий момент М стремится уменьшить угол j, характеризующий положение маятника по отношению к равновесному состоянию.

Более строго смысл знака “–” объясняется так: псевдовекторы момента сил М и смещения от положения равновесия j направлены в противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 4.1, первый направлен за плоскость чертежа, а второй – из этой плоскости на наблюдателя).

Помня, что и, учитывая (4.1), уравнение (4.2) запишем в виде

(4.3.)

При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в виду) , а поэтому равенство (4.3) после деления на I примет вид:

(4.4)

Величина mgb/I как сугубо положительная может быть заменена квадратом некоторого числа:

(4.5)

Тогда уравнение (4.4) можно переписать как

(4.6)

Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением уравнения (4.6) является выражение

(4.7)

Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях незатухающие гармонические колебания с циклической частотой – постоянные (амплитуда и начальная фаза), зависящие от начальных условий.

Период колебаний ФМ

(4.8)

I/mb имеет размерность длины. Эта величина обозначается через L и называется приведенной длиной ФМ:

L=I/mb (4.9)

Таким образом,

(4.10)

Сравнивая (4.10) с формулой для периода колебаний математического маятника

где l – длина математического маятника,

видим, что приведенная длинаФМ – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного ФМ.

Легко заметить, чтоL>b. В самом деле, в соответствии с теоремой Штейнера

I = I_c+mb²,

гдеI_с – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс.

Следовательно, по выражению (4.9)

(4.11)

откуда видно, чтоL>b

Точку O₁ (рис. 4.1) отстоящую от О на расстоянии L, называют точкой качаний.

Описание установки и метода определения

Исследуемое тело 1 представляет собой металлическую пластину с двумя вырезами (рис. 4.2). Этими вырезами тело подвешивается на опору-кронштейн 2, для организации колебаний. Чтобы уменьшить трение и износ детали точки подвеса О₁ и О₂ снабжены специальными канавками 3.

На конце кронштейна может быть подвешен математический маятник 4, длину которого можно изменять.

В работе определяются моменты инерции I₁ и I₂ относительно осей О₁ и О₂. Метод определения моментов инерции основан на том, что период колебаний ФМ (пластина в данном случае играет роль физического маятника) связан с его моментом инерции относительно оси колебания (см. формулу (4.8)).

Таким образом, измерив на опыте период колебаний маятника Т и расстояние b от точки подвеса до центра масс(см. рис. 4.1), зная массу m маятника и ускорение свободного падения g можно вычислить момент инерции:

(4.12)

Порядок выполнения работы

1. Снять пластину с подвеса, измерить линейкой расстояния b₁=O₁C и b₂=O₂C (см. рис. 4.2) и оценить ошибку Db этих измерений.

Результаты занести в табл. 4.1; сюдаже вписать данные о массе тела и ускорении свободного падения.

Таблица 4.1

№ п/п	Число полных колебаний N	Колебания на оси О1	Колебания на оси О2
t1	T1	t2	T2	(T2i – <T2>)	(T2i – <T2>)2
Данные b1=_____±___ L1= m=2,570 кг Данные b2=_____±___ L2= g=9,81 м/с2

2. Повесить маятник на ось О₁, привести его в движение и измерить время t₁ 30-50 полных колебаний (N) (отсчет времени лучше начинать после того, как тело совершит несколько колебаний). Результаты (эти и доследующие) занести в таблицу.

3. Снять маятник и, подвесив его на ось O₂ проделать тоже, что и в п.2.

4. Вычислить Т₁ и Т₂ для каждого из опытов иих средние значения <Т₁> и <Т₂>.

5. По формуле (см. (4.12)) вычислить <I₁> и <I₂>.

6. Для момента инерции I₂ вычислить относительную ε_1,2 и абсолютную DI₂ погрешности (для I₁ первую из них принять такойже).Для этого

· подсчитать Т_2i=<Т₂>, (Т_2i=<Т₂>)², S(Т_2i=<Т₂>)² (см. табл.).

· вычислить абсолютную погрешность в измерении периода колебаний

,

где n – число измерений;

Dt_пр – приборная погрешность секундомера,

– коэффициент Стьюдента (определяется по таблице в зависимости от выбранной надежности a и n);

· определить относительную погрешность

· вычислить абсолютную погрешность в определении I₂:

DI₂₌ε_i<I₂>

7. Результаты представить в виде:

I₁=<I₁>±DI₁ I₂=<I₂>±DI₂, при α= ε_i=

8. Вычислить приведенные длины L₁ и L₂ маятников по формуле . При наличии математического маятника установить его длину l равной L₁ (или L₂) и убедиться в синхронности колебаний физического и математического маятников.

Контрольные вопросы

1. Физический маятник.

2. Уравнения колебаний физического маятника (дифференциальное уравнение и его решение).

З. Частота и период колебаний физического маятника.

4. Приведенная длина физического маятника.

5. Точка подвеса и центр качаний.

6. Метод определения момента инерции I в данной работе.

7. Порядок выполнения работы.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие в 5-ти кн. - М.: ООО Изд-во «Астрель»; ООО «Изд-во АСТ», 2002.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие.-7-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003.

3. Ремизов А.Н. Курс физики: учебник для вузов. - М.: Дрофа, 2002.

4. Костко О.К. Физика для строительных и архитектурных вузов: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2004.