Определение в рядах динамики общей тенденции развития

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.

Рассматривая динамические ряды разделяют эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.

Пример 3. Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)

месяц
январь 5,3 5,3 5,4
февраль 5,3 5,1 5,2
март 7,9 8,3 8,2
апрель 8,2 9,0 9,3
май 9,8 9,5 10,1
июнь 12,5 13,0 13,1
июль 11,8 12,2 12,5
август 10,3 10,4 10,8
сентябрь 8,2 8,0 8,3
октябрь 6,5 6,6 6,8
ноябрь 5,4 5,5 5,7
декабрь 5,5 5,5 5,6
итого за год 96,7 98,4

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

1987г. - 96,7 тонн

1988г. - 98,4 тонн

1989г. - 101 тонна

Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики —метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например: Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru — исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ; Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ; Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ;......;

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru . Между расположением уровней Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru и Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru устанавливается соответствие:

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

— — Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru — — ,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.

Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru и Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ... — исходные уровни;

— — Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ... — сглаженные уровни;

— — Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ... — центрированные сглаженные уровни; Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Пример 3

Таблица 1.

Годы Валовый сбор хлопка-сырца, млн. т. Скользящая средняя по 5 уровням
4,3
4,5
4,3 4,72
5,2 5,00
5,3 5,30
5,7 5,64
6,0 5,78
6,0 5,86
5,9 6,10
5,7 6,32
6,9 6,58
7,1 6,94
7,3 7,48
7,7 7,68
8,4 7,92
7,9 8,22
8,3 8,38
8,8 8,54
8,5 8,94
9,2 9,18
9,9 9,30
9,6
9,3

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

Рис. 1. Валовый сбор хлопка - сырца.

На рис. 1 показан график, построенный по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 1.

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru заменяются теоретическими или расчетными Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

Например, Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ,

где Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания; Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru - моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Расчет коэффициентов Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru ведется на основе метода наименьших квадратов: Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

Если вместо Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru подставить Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

Это функция двух переменных Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru (все Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru и Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru известны), которая при определенных Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Для прямой: Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Если вместо абсолютного времени Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru выбрать условное время таким образом, чтобы Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , то записанные выражения для определения Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru упрощаются:

Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru

Пример 4.

Нечетное число уровня ряда.

абсолютное время
-3 -2 -1 условное время

Чётное число уровней ряда.

абсолютное время
-7 -5 -3 -1 условное время

В обоих случаях Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Пример 5. Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).

141,3 144,8 146,7 151,5 149,0

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , определение Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru производится для условного времени, в результате Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru , Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru .

Год Производство стали Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru Условное время Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru Теоретические уровни Определение в рядах динамики общей тенденции развития - student2.ru
141,3 -2 142,2
144,8 -1 144,4
146,7 146,7
151,5 148,9
149,0 151,1

Наши рекомендации