Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru точками Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Внутри каждого отрезка Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru выберем точку Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников).

Метод средних прямоугольников.

Формула метода средних прямоугольников.

Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на РАВНЫЕ части длины h точками Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru (то есть Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru ) и в качестве точек Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru выбрать СЕРЕДИНЫ элементарных отрезков Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru (то есть Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru ), то приближенное равенство Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru можно записать в виде Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Это и есть формула метода прямоугольников. Ее еще называют формулой средних прямоугольников из-за способа выбора точек Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru называют шагом разбиения отрезка [a;b].

Приведем графическую иллюстрацию метода средних прямоугольников.

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru

Из чертежа видно, что подынтегральная функция y=f(x) приближается кусочной ступенчатой функцией Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru на отрезке интегрирования.

С геометрической точки зрения для неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры.

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru

Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников.

Перейдем к оценке абсолютной погрешности метода прямоугольников. Сначала оценим погрешность на элементарном интервале. Погрешность метода прямоугольников в целом будет равна сумме абсолютных погрешностей на каждом элементарном интервале.

На каждом отрезке Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru имеем приближенное равенство Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Абсолютную погрешность метода прямоугольников Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru на i-ом отрезке вычисляем как разность между точным и приближенным значением определенного интеграла: Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Так как Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru есть некоторое число и Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru , то выражение Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru в силу четвертого свойства определенного интеграла можно записать как Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru . Тогда абсолютная погрешность формулы прямоугольников на i-ом элементарном отрезке будет иметь следующий вид
Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru

Если считать, что функция y = f(x) имеет в точке Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru и некоторой ее окрестности производные до второго порядка включительно, то функцию y = f(x)можно разложить в ряд Тейлора по степеням Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru с остаточным членом в форме Лагранжа:
Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru

По свойствам определенного интеграла равенства можно интегрировать почленно:
Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru
где Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Таким образом, Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru и Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке [a; b] равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале, поэтому
Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru и Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников - student2.ru .

Полученное неравенство представляет собой оценку абсолютной погрешности метода прямоугольников.

К началу страницы

Наши рекомендации