Функцияның үзіліссіздігі. Тамаша шектер
ДӘРІС 1-6. МАТЕМАТИКАЛЫҚ АНАЛИЗГЕ КІРІСПЕ. ФУНКЦИЯНЫҢ ШЕГІ. ФУНКЦИЯНЫҢ ҮЗІЛІССІЗДІГІ. ШЕКТЕР ТУРАЛЫ ТЕОРЕМАЛАР. ТАМАША ШЕКТЕР.
Дәріс сабақтардың құрылымы:
1. Нақты сандар.
2. Элементар функциялар
3. Шенелген және шенелмеген тізбектер
4. Функция және оның шегі
5. Функцияның шегінің тіліндегі анықтамасы
6. Шексіз аз функция. Шенелген функциялар
7. Шексіз аз функция және оның құрдым аз функциямен байланысы
8. Үздіксіз функциялар
Дәріс сабақтардың мазмұны:
Нақты сандыр. Функция. Элементар функциялар.
Нәрселерді санау қажетінен тұған 1,2,3… натурал сандар ерте заманнан белгілі. Натурал сандар жиынын әдетте N әріпімен белгілейді.
Анықтама. Функция деп кез келген х элементіне, бірінші элементі осы х болатындай, біреуден артық емес (x,y) пары сәйкес келетін (x,y) парларының f жиынын атайды. Y=f(x). Парлардың бірінші элементтер (x) жиыны анықталу облысы деп, ал екінші элементтер жиыны (y) мәндер облысы деп аталады. Х аргумент деп аталады.
Анықтама. Егер кез келген х мәніне сәйкес f(-x)= f(x) теңдігі орындалса, онда оны жұп функция деп атайды. Егер f(-x)= - f(x) болса, огда оны тақ функция деп атайды.
Мысалы, f(x)= . R (кез келген х) үшін
f(-x)= = = f(x) орындалады. F функциясы жұп болады.
f(x)= . R (кез келген х) үшін
f(-x)= = = -f(x) орындалады. F функциясы тақ болады.
Енді Y=f(x) функция үшін әр түрлі жағдайларды қарастырамыз.
1. f (x) орнегін алу үшін х аргументі мен тұрақты сандарға саны шектеулі алгебралық амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу) қолданылатын болса, онда өрнекті алгебралық өрнек деп атайды.
Мысалы у= формуласымен берілген функция алгебралық функция болады.
Алгебралық f(x) өрнегін құру үшін түбір табу амалы қолданылмаса, оны рационал өрнек деп атайды
Мысалы, у= рационал функция болады.
1. Тұрақты функция. Бұл функция f(x)=C формуламен береді. Бұл функциянын анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны), ал өзгеру облысы тек бір ғана тұрақты С санынан тұрады. Графиктері:
2. Дәрежелік функция. Бүтін қөрсеткіш функция деп f(x)=хn функциясының атайды. Графиктері:
3. Көрсеткіш функция. Көрсеткіш функция деп у=ax функциясын атайды. Анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны). Ал мәндер облысы нақты оң сандар жиыны болады. Графиктері:
4. Логарифмдік функция. Негізгі а (a ) болатын логарифмдік функция деп көрсеткіш функцияға кері функцияны атайды және оны былай белгілейді y=logax Графиктері
5. Тригонометриялық функциялары. Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx. Графиктері
6. Кері тригонометриялық функциялары. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx. Графиктері
Анықтама. Нақты санның модулі мына формуламен енгізіледі
Функцияның үзіліссіздігі. Тамаша шектер
1-Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған f функциясын айтады. f функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін деп белгілейді, яғни .
2-Анықтама. тізбегі берілсін. Егер кез келген оң саны арқылы барлық үшін теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылса, онда тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол а санына тең деп атап, оны былай белгілейді: немесе (1)
Осы жағдайда тізбегін «а санына жинақталатын тізбек», «а санына ұмтылатын тізбек» деп те атайды.
Енді тізбектің қасиеттерін қарастырамыз.
1-Теорема. Жинақталатын тізбектің тек бір ғана шегі бола алады, яғни болса, онда .
2-Теорема. Егер болса, онда әрбір оң бүтін m үшін .
3-Теорема. болса, онда .
4-Теорема. Шегі нөл емес нақты сан болатын тізбектің мүшелері белгілі бір нөмірден бастап шегінің таңбасын сақтайды.
5-Теорема. және тізбектерінің шектері бар болсын. Егер белгілі бір к нөмірінен бастап барлық n-дер үшін теңсіздігі орындалса, онда сол теңсіздік шектер үшін де сақталады, яғни
6-Теорема. тізбектері үшін келесі шарттар орындалса; 1) әрбір оң бүтін n үшін, ; 2) ; Онда тізбегінің де шегі бар және а-ға тең.