Электромагнитные волны в среде

С ПРОВОДИМОСТЬЮ

3.6.1. Комплексная диэлектрическая проницаемость

1. Реальная среда в той или иной степени обладает проводимостью, т.к. в любой реальной среде содержится некоторое количество свободных зарядов. По проводимости среды делятся на проводники, полупроводники и диэлектрики. Вспомним курс общей физики. Энергетический спектр электронов в кристаллах имеет зонную структуру, и с позиции зонной теории проводимость сред количественно оценивается по энергетической ширине De последней запрещенной зоны (запрещенная зона находится между валентной зоной и зоной проводимости). Валентные электроны могут покидать свои атомы, если электроны приобретут достаточную энергию для преодоления потенциального барьера запрещенной зоны, и «принять участие» в электрическом токе.

В проводниках (например, в металлах) валентная зона и зона проводимости перекрываются, и валентные электроны в металлах уже при температурах близких к 0 К находятся в зоне проводимости. Металлы являются хорошими проводниками. Условно принято, что полупроводниками являются материалы, у которых ширина последней запрещенной зоны De < 2 эВ. Например, ширина запрещенной зоны известных полупроводниковых кристаллов кремния Si и германия Ge De » 1 эВ. К диэлектрикам (диэлектрики называют еще изоляторами) относятся материалы, ширина последней запрещенной зоны которых De > 2 эВ. Однако, несмотря на довольно большую энергетическую ширину последней запрещенной зоны диэлектриков, статистически в межатомном пространстве реальных диэлектриков все же содержится некоторое количество свободных электронов, поэтому и диэлектрики обладают проводимостью, хотя и незначительной. Итак, соотношение между проводимостями диэлектриков gд., полупроводников gпп. и проводников gпр можно выразить неравенством:

gд.<< gпп < gпр.,

(напомним, g = электромагнитные волны в среде - student2.ru , где r – удельное сопротивление среды).

2. Классификация сред на проводники и диэлектрики с позиции электродинамики определяется по относительному значению тока проводимости j= gEи тока смещения jсм. = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Ток проводимости gE обусловленным движением свободных зарядов, ток смещения электромагнитные волны в среде - student2.ru обусловленным переменным электромагнитным полем. Если в среде ïgEï>>ï электромагнитные волны в среде - student2.ru ï, то такая среда является проводником, если ïgEï<<ï электромагнитные волны в среде - student2.ru ï, то среда является диэлектриком. При условии, когда ïgEï и ï электромагнитные волны в среде - student2.ru ïодного порядка, то такую среду будем называть полупроводником.

Важно в приведенных оценочных неравенствах обратить внимание на то обстоятельство, что соотношение между током проводимости j и током смещения jсм зависит не только от параметров среды g и e, но и от быстроты изменения электрического поля электромагнитной волны - зависит также и от значения электромагнитные волны в среде - student2.ru , т.е. от частоты колебаний вектора E.

Допустим, электромагнитная волна является синусоидальной. Запишем уравнение Максвелла для ротора комплексной амплитуды H (раздел 3.4):

[Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = электромагнитные волны в среде - student2.ru + электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ruили [Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = (g + электромагнитные волны в среде - student2.ru )электромагнитные волны в среде - student2.ru.

Последнее уравнение можно представить в виде:

[Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru. (70)

Комплексная величина:

eк = электромагнитные волны в среде - student2.ru (71)

называется комплексной диэлектрической проницаемостью.

Итак, вместо уравнения [Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = электромагнитные волны в среде - student2.ru + электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ruбудем иметь уравнение

[Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = электромагнитные волны в среде - student2.ru eк электромагнитные волны в среде - student2.ru. (72)

Уравнение (72) позволяет рассматривать любую среду как диэлектрик с комплексной диэлектрической проницаемостью eк. Соотношение между вещественной частью ee0 и мнимой электромагнитные волны в среде - student2.ru комплексной диэлектрической проницаемости eк определяет свойства среды:

- при g >> ee0w среда является проводником;

- при g << ee0w среда является реальным диэлектриком.

При граничной частоте wгр. = электромагнитные волны в среде - student2.ru (73)

амплитуды тока проводимости и тока смещения равны. При высоких частотах электромагнитной волны (w >> wгр.) основную роль играют токи смещения, и среда при этих частотах рассматривается как диэлектрик; при низких частотах волны (w << wгр.) основную роль играют токи проводимости, и среда при этих частотах рассматривается как проводник.

Например, проводимость меди g = 5,7×107 Сим/м, диэлектрическая проницаемость металлов того же порядка, что и диэлектрическая проницаемость воздуха e ~ (1 ¸ 10). Если принять e = 10, то имеем:

fгр. = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = 1017 Гц.

Полученная частота находится в ультрафиолетовом диапазоне электромагнитных волн (длина волны 3×10-9м). В радиодиапазоне (радиодиапазон простирается до частот 1013¸1014 Гц) металлы являются проводниками. Таким образом, в металлах в радиодиапазоне частот ток проводимости превышает ток смещения более чем в 103 раз. Для пресной воды (g = 10-3 Сим/м, e = 81) граничная частота fгр. = 2×105 Гц; для морской соляной воды (g = 4 Сим/м, e = 81) fгр. = 109 Гц.

В нелинейных магнетиках (например, в ферромагнетиках) возможны магнитные потери и магнитная проницаемость становится комплексной величиной mк, и уравнение для ротора вектора комплексной амплитуды электромагнитные волны в среде - student2.ruзапишется в виде: [Ñ,электромагнитные волны в среде - student2.ru] = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru. (74)

В дальнейшем будем рассматривать линейные магнетики с постоянной магнитной проницаемостью и в отсутствии магнитных потерь в среде.

Умножив (72) и (74) на электромагнитные волны в среде - student2.ru , получим уравнения Максвелла для роторов комплексных функцийEк и Hк в среде с проводимостью:

[Ñ, Hк] = электромагнитные волны в среде - student2.ru eк Eк, (75)

[Ñ, Eк] = электромагнитные волны в среде - student2.ru Hк, (76)

а также уравнения для дивергенций:

Ñ Hк = 0 и Ñ Eк = 0. (77)

3.6.2. Уравнение плоской волны в среде с проводимостью

Прежде чем рассматривать содержание данного параграфа, рекомендуем еще раз перечитать раздел 3.5, где приводятся волновые уравнения вещественных векторов E и H в идеальном диэлектрике и решения этих уравнений.

В идеальном диэлектрике волновое уравнение (40) получено из анализа уравнений Максвелла (26). Решением волновых уравнений являются уравнения волны (44*) и (45*), которые представим в комплексной форме, выделив отдельно множитель электромагнитные волны в среде - student2.ru , зависящий от координаты:

Eк = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru ; (78)

Hк = электромагнитные волны в среде - student2.ru =электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru , (79)

где Z0 = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru , k = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Так как фазовая скорость волны в диэлектрике определяется выражением v = электромагнитные волны в среде - student2.ru , то волновое число можно записать в виде k = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Уравнения (78) и (79) описывают электромагнитную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси 0Z, на это указывает знак минус в сомножителе электромагнитные волны в среде - student2.ru .

Среда с проводимостью. Структура уравнений Максвелла для комплексных функцийEк и Hк в среде с проводимостью (75, 76, 77) одинакова со структурой системы уравнений Максвелла (26) в идеальном диэлектрике. Следовательно, решенияEк и Hк в среде с проводимостью будут иметь вид, аналогичный уравнениям (78) и (79) с учетом того, что в среде с проводимостью диэлектрическая проницаемость eк – комплексная величина. В решении волнового уравнения для среды с проводимостью вещественное волновое число k (вещественный фазовый множитель) следует заменить комплексной величиной электромагнитные волны в среде - student2.ru - комплексным фазовым множителем, а вещественное волновое сопротивление Z0 заменить комплексным волновым сопротивлением электромагнитные волны в среде - student2.ru :

электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru , где электромагнитные волны в среде - student2.ru - комплексная фазовая скорость;

электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru .

Запишем уравнения волны комплексных функцийнапряженности электрического поля Eк и напряженности магнитного поля Hк в среде с проводимостью Eк =электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru ; (80)

Hк = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru , (81)

Проведем анализ уравнений (80) и (81).

1. Комплексная величина электромагнитные волны в среде - student2.ru , как любая комплексная величина, может быть представлена в виде:

электромагнитные волны в среде - student2.ru = k - ia (82)

Подставим (82) в (80), получим:

Eк =электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru . (83)

Пусть начальная фазаEравна нулю, тогда это уравнение в тригонометрической форме имеет вид:

Ex = E0 электромагнитные волны в среде - student2.ru cos (wt - kz) (83*)

(напомним, в этой записи принято, что плоская волна распространяется в положительном направлении оси 0Z, вектор E колеблется по оси 0X, вектор H - по оси 0Y).

Из (83) следует, что положительная величина a (мнимая часть комплексного фазового множителя электромагнитные волны в среде - student2.ru ) определяет затухание амплитуды волны с расстоянием по мере удаления электромагнитной волны от источника волны и называется коэффициентом затухания. В экспериментальном плане a равна обратной величине некоторого расстояния l0, на котором амплитуда волны E0 электромагнитные волны в среде - student2.ru уменьшается в e » 2,7 раз: a = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Ясно, что механизм потерь электромагнитной энергии в проводящей среде обусловлен возбуждением в среде электрических токов с последующим выделением джоулевого тепла.

Величина k имеет тот же смысл волнового числа, что и в уравнении волны в идеальном диэлектрике: k = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Как и в идеальном диэлектрике, в среде с проводимостью волновое число k определяет фазовую скорость волны: v = электромагнитные волны в среде - student2.ru . Фазовая скорость – это скорость распространения волновой поверхности (например, передней волновой поверхности - фронта волны).

2. Комплексное волновое число представим в форме Эйлера (через экспоненту): электромагнитные волны в среде - student2.ru =Z0 электромагнитные волны в среде - student2.ru . Здесь Z0 - модуль, j - аргумент волнового сопротивления. Тогда уравнение волны для комплексной функции напряженности магнитного поля запишется как:

Hк = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru . (84)

В обычной тригонометрической записи уравнение волны для напряженности магнитного поля электромагнитной волны в среде с проводимостью примет вид: Hy = электромагнитные волны в среде - student2.ru электромагнитные волны в среде - student2.ru cos (wt - kz - j). (85)

Из сравнения уравнений (83) и (85) следует, что в среде с проводимостью имеется сдвиг фаз между электрическим и магнитным полями электромагнитной волны. Напомним, в идеальном диэлектрике фазовый сдвиг между векторами E и H отсутствует (§3.5.2).

Воспользовавшись соотношениями для комплексного фазового множителя и комплексного волнового сопротивления

электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = k - ia и электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = Z0 электромагнитные волны в среде - student2.ru , где eк = электромагнитные волны в среде - student2.ru ,

можно получить оценочные формулы для вещественных величин: коэффициента затухания a; вещественного фазового множителя k; фазовой скорости v; модуля аргумента волнового сопротивления Z0; сдвига фаз j между E и H. Вывод основывается на возведение в квадрат первого соотношения и последующего приравнивания действительной и мнимой частей полученного равенства. Вывод оценочных формул несложный, и подробности вывода здесь опустим. Приведем результаты для двух случаев.

А. Среда - реальный диэлектрик (ee0w >> g - среда обладает незначительной проводимостью):

- волновое сопротивление: Z0 = электромагнитные волны в среде - student2.ru » электромагнитные волны в среде - student2.ru

- коэффициент затухания: a2 = wee0mm0 электромагнитные волны в среде - student2.ru » электромагнитные волны в среде - student2.ru или

a » электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- фазовой множитель: k = wee0mm0 электромагнитные волны в среде - student2.ru » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- фазовая скорость волны: v = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- сдвиг фазы между E и H: j = arctg электромагнитные волны в среде - student2.ru » 0.

Из приведенных оценок следует, что в реальном диэлектрике с незначительной проводимостью результаты такие же, что и в идеальном диэлектрике. В реальном диэлектрике коэффициент затухания a не зависит от частоты, а определяется проводимостью g и волновым сопротивлением Z0.

Б. Среда - проводник. С учетом соотношения для хорошо проводящей среды g >> ee0w , получим:

- волновое сопротивление: Z0 » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- коэффициент затухания: a » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- фазовой множитель: k » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- фазовая скорость волны: v » электромагнитные волны в среде - student2.ru ;

- сдвиг фазы между E и H: j = arctg электромагнитные волны в среде - student2.ru » электромагнитные волны в среде - student2.ru .

Из полученных оценок следует, что в проводящей среде:

1) происходит поглощение энергии электромагнитной волны, и это поглощение можно характеризовать коэффициентом затухания амплитуды волны в проводящей среде, причем в проводниках a » k (напомним, в курсе общей физики было показано, что энергия электромагнитной волны определяется квадратом амплитудыE и H). Например, в меди при обычной радиотехнической частоте f = 100 МГц (длина волны 3 м) a » 15×104 м-1 , следовательно, при прохождении волной расстояния l0 = электромагнитные волны в среде - student2.ru » 7×10-6 м = 7×10-3мм амплитуда в проводящей среде уменьшается в e = 2,7 раз;

2) фазовая скорость v очень мала. Например, в меди v » 4×102 м/с (сравните, в вакууме v » 3×108 м/с);

3) волновое сопротивление Z0 проводников очень мало. Например, волновое сопротивление меди » 4×10-3 Ом (сравните, волновое сопротивление вакуума » 380 Ом). Уже из этого следует, что в проводящей среде перенос энергии осуществляется в основном магнитным полем электромагнитной волны (см. определение волнового сопротивления). Приведем оценку данного эффекта, для чего сравним максимальную плотность энергии магнитного и электрического поля электромагнитной волны в проводящей среде:

электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru = электромагнитные волны в среде - student2.ru .

Например, для меди электромагнитные волны в среде - student2.ru » 3×107, т.е. практически вся энергия электромагнитного поля в проводнике сосредоточена в магнитном поле (при вычислении принято, что магнитная проницаемость m и диэлектрическая проницаемость порядка металлов порядка проницаемости воздуха, т.е. ~ 1);

4) в проводниках фазы колебаний векторов E и Hне совпадают.

Наши рекомендации