Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения: как найти производную? - student2.ru ; – именно в этой точке и находится вершина параболы. Рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

как найти производную? - student2.ru

Таким образом, вершина находится в точке как найти производную? - student2.ru

Теперь находим другие точки, при этом пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция как найти производную? - student2.ru – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

как найти производную? - student2.ru

Выполним чертеж:

как найти производную? - student2.ru

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции как найти производную? - student2.ru ( как найти производную? - student2.ru ) справедливо следующее:

Есликак найти производную? - student2.ru , то ветви параболы направлены вверх.

Есликак найти производную? - student2.ru , то ветви параболы направлены вниз.

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией как найти производную? - student2.ru . Вот знакомый со школы чертеж:

как найти производную? - student2.ru
Перечислим основные свойства функции как найти производную? - student2.ru

Область определения – любое действительное число: как найти производную? - student2.ru .

Область значений – любое действительное число: как найти производную? - student2.ru .

Функция как найти производную? - student2.ru является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием как найти производную? - student2.ru . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»

как найти производную? - student2.ru , значит, функция как найти производную? - student2.ru является нечетной.

Функция как найти производную? - student2.ru не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: как найти производную? - student2.ru , как найти производную? - student2.ru

Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью таблички:

как найти производную? - student2.ru

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что как найти производную? - student2.ru , то при вычислении как найти производную? - student2.ru уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что как найти производную? - student2.ru . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов.

График любого многочлена третьей степени как найти производную? - student2.ru ( как найти производную? - student2.ru ) принципиально имеет следующий вид:

как найти производную? - student2.ru

В этом примере коэффициент при старшей степени как найти производную? - student2.ru , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

как найти производную? - student2.ru

Эти знания полезны при исследовании графиков функций.

График функции как найти производную? - student2.ru

Выполним чертеж:

как найти производную? - student2.ru

Основные свойства функции как найти производную? - student2.ru :

Область определения: как найти производную? - student2.ru .

Область значений: как найти производную? - student2.ru .

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция как найти производную? - student2.ru не ограничена сверху. Или с помощью предела: как найти производную? - student2.ru

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

как найти производную? - student2.ru

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, как найти производную? - student2.ru , но они встречаются значительно реже. Мы ориентируемся на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде как найти производную? - student2.ru приходиться строить значительно чаще. Если возникнет необходимость выяснить, как выглядят графики с другими корнями, то, рекомендую заглянуть в школьный учебник или математический справочник.

График гиперболы

Основные свойства функции как найти производную? - student2.ru :

Область определения: как найти производную? - student2.ru .

Область значений: как найти производную? - student2.ru .

Запись как найти производную? - student2.ru обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке как найти производную? - student2.ru функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью одностороннихпределов: как найти производную? - student2.ru , как найти производную? - student2.ru . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись как найти производную? - student2.ru обозначает, что мы бесконечно близкоприближаемся по оси как найти производную? - student2.ru к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близкоприближаясь к оси как найти производную? - student2.ru . Именно этот факт и записывается пределом как найти производную? - student2.ru . Аналогично, запись как найти производную? - student2.ru обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси как найти производную? - student2.ru к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близкоприближаясь к оси как найти производную? - student2.ru . Или коротко: как найти производную? - student2.ru .

Прямая, к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции, называется асимптотой.

В данном случае ось как найти производную? - student2.ru является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при как найти производную? - student2.ru .

Наши рекомендации