Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства

1.4.1 Рассмотрим автоматическую систему, состоящую из объекта управления (системы вида (1.16)) и управляющего устройства

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.38)

В развернутом виде описание системы (1.38) следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.39)

В скалярном виде описание системы (1.19) следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.40)

Структура системы представлена на рисунке 12.

Матрица состояния системы (1.38) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Характеристическое уравнение системы (1.38) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.40)

где Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ;

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ;

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ;

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Условия устойчивости системы (1.38) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru следующие: Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (условия А.Стодолы) и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (критерий И.А. Вышнеградского).

1.4.2 Рассмотрим автоматическую систему, состоящую из объекта управления (системы вида (1.31)) и управляющего устройства

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.41)

В развернутом виде описание системы (1.19) следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.42)

В скалярном виде описание системы (1.41) следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.43)

Структура системы представлена на рисунке 13.

Матрица состояния системы (1.41) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Характеристическое уравнение системы (1.41) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru следующее

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (1.44)

Для устойчивости системы (1.41) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru необходимо и достаточно, чтобы для уравнения (1.44) выполнялись условия: Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (условия А.Стодолы) и

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ,

получаемые в соответствии с критерием А.Гурвица

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru   б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 1 - Структура системы (1.1) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)     Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 2 – Структура системы (1.4) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru   б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 3 – Структура системы (1.7) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 4 – Структура системы (1.10) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 5 – Структура системы (1.13) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 6 – Структура системы (1.16) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 7 – Структура системы (1.19) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru   б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 8– Структура системы (1.22) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 9 - Структуры системы (1.25) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru   б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 10 – Структуры системы (1.28) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 11 – Структура системы (1.31) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Рисунок 12 – Структура системы (1.38) а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

а)   Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru б) Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru  

Рисунок 13 - Структура системы (1.41) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru а) в общем виде; б) при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

1.5 Понятия управляемости и наблюдаемости

1.5.1 История вопроса.Понятия: «Управляемость» и «Наблюдаемость» были введены и сформулированы в 60-х годах прошлого столетия американским математиком Р. Калманом (R.E. Kalman).

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru Рудольф Эмиль Калман родился 19 мая 1930 года в г. Будапеште. Получил степени бакалавра (1953) и магистра (1954) электротехники в Масачусетском технологическом институте, а докторскую степень (1957) – в Колумбийском университете (США).

С 1954 по 1964 работал в Принстонском институте перспективных исследований, где получил ряд выдающихся результатов, позволяющих считать его одним из основателей современной теории систем и теории управления. Фильтр Калмана, критерии управляемости и наблюдаемости Калмана, лемма Якубовича-Калмана известны далеко за пределами теории управления. Разработанные им концепции и методы широко используются инженерами и исследователями в различных областях науки и техники.

Р.Калман является почетным доктором многих университетов, членом ряда академий, лауреатом нескольких престижных премий, в том числе премии Киото (1985), часто называемой «Азиатской Нобелевской премией». В 1994 году он был избран иностранным членом Российской академии наук.

Данные понятия имеют практическое значение при управлении сложными объектами, математическими образами которых служат многомерные автоматические системы.

1.52 Постановка задачи.Дана линейная многомерная стационарная система управления, поведение которой описывается уравнениями состояния и выхода:

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , (1.45)

где Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - мерный вектор состояния; Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - мерный вектор управления (входа); Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - мерный вектор наблюдения (выхода); Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - матрицы вещественных коэффициентов размера Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru соответственно.

Система (1.45) называется вполне управляемой по состоянию, если выбором управляющего воздействия Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru на промежутке времени Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru можно перевести систему из любого начального состояния Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru в произвольное заранее заданное конечное состояние Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Система (1.45) называется вполне управляемой по выходу, если выбором управляющего воздействия Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru на промежутке времени Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru можно перевести систему из любого начального состояния Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru в такое конечное состояние, при котором обеспечивается заранее заданное произвольное значение выхода Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Система (1.45) называется вполне наблюдаемой, если по реакции Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru на выходе системы на промежутке времени Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru при заданном управляющем воз­действии Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru можно определить начальное состояние Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Постановка задачи формулируется следующим образом: пусть известны матрицы Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru системы (1.45). Требуется определить, является ли система вполне управляемой и наблюдаемой.

1.5.3 Критерии управляемости и наблюдаемости. 1) Критерий управляемости по состоянию. Для того чтобы система (2.1) была вполне управляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по состоянию

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

равнялся размерности вектора состояния:

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.46)

2) Критерий управляемости по выходу. Для того чтобы система (1.46) была вполне управляемой по выходу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по выходу

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

равнялся размерности вектора выхода:

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.47)

3) Критерий наблюдаемости. Для того чтобы система была вполне наблюдае­мой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

равнялся размерности вектора состояния:

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.48)

1.5.4 Пояснения.Пусть дана прямоугольная матрица Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (или Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ) - таблица любых Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru чисел, расположенных в Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru строках и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru столбцах

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.49)

В частном случае при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru матрица Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru является квадратной.

Пусть Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru – любое натуральное число, не превышающее Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . Выберем в Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru произвольным образом Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru -строчек и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru -столбцов. Из элементов матрицы Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , лежащих на пересечении выбранных строчек и столбцов, можно образовать определитель, который и называется минором Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru -го порядка матрицы Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Если в матрице Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru все миноры Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru –го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высокого порядка (если таковые существуют).

Рангом матрицы Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru называется такое целое число Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , что среди миноров Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru –го порядка матрицы Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru имеется хотя бы один, не равный нулю, а все остальные Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru –го порядка (если только их можно составить) сплошь равны нулю

(Боревич З.И. Определители и матрицы: Учеб.пособие для вузов.- 3-е изд. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1988.- 184 с.).

1.5.5 Частный случай.Рассмотрим линейную многомерную стационарную систему управления следующего вида

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , (1.50)

где, в отличие от системы (1.45), Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - матрица-столбец размерности ( Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ); Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - матрица-строка размерности ( Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ); Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru - управляющая переменная (скалярная величина).

Система (1.50) является полностью (вполне) управляемой (по состоянию), если выполняется условие

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.51)

Система (1.50) является полностью (вполне) наблюдаемой, если выполняется условие

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru . (1.52)

Пример 1. Система задана следующим описанием

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ; Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Определить значения параметра Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , для которых система обладает свойством полной наблюдаемости.

Условие полной наблюдаемости: Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ,

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Ответ: при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru (или Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ) система обладает свойством полной наблюдаемости.

Пример 2. Система задана следующим описанием

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Определить значения параметра Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , для которых система обладает свойством полной управляемости.

Условие полной управляемости системы: Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru , Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru ,

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru .

Ответ: при Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru и Устойчивость систем, состоящих из объекта управления и управляющего устройства - student2.ru система обладает свойством полной управляемости.

Наши рекомендации