Ормальный случайный вектор.

Введём двумерное нормальное распределение случайного вектора .

Пусть координаты и случайного вектора являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону, т.е. имеют плотности распределения и . Если и являются независимыми случайными величинами, то , и в этом случае плотность распределения двумерного нормального распределения имеет вид . В общем случае вектор имеет (невырожденное) двумерное нормальное распределение, если его плотность распределения определяется формулой , где функция двух переменных есть положительно определённая квадратичная форма (т.е. для любых ).

Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров:

– координат и вектора , называемого вектором математических ожиданий вектора ;

– координат и вектора , называемого вектором средних квадратических отклонений вектора ;

– числа , называемого коэффициентом корреляции случайных величин и .

словные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение.

Условные функции распределения случайных величин и , входящих в систему, обозначаются и , а условные плотности распределения – и .

Теорема умножения плотностей распределения: или .

Для независимых случайных величин или .

– условная вероятность.

Случайные величины и называют независимыми, если совместная функция распределения является произведением одномерных функций распределения и : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Для независимых случайных величин и события и являются независимыми. Покажем, что независимыми являются и все события и . Действительно, в силу независимости и , свойства 5 двумерной функции распределения ( ) и свойства 3 одномерной функции распределения ( ) имеем , что и означает независимость событий и .

Теорема: Для того, чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех и .

Доказательство: I.Необходимость. Пусть случайные величины и независимы. Тогда, согласно определению . Имеем: .

II.Достаточность. . Теорема доказана.

Теорема: Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений и .

Случайные величины , заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокупности, если .