Дальнейшие свойства определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла по формуле

Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим простой способ вычисления определенных интегралов, минуя отыскание интегральных сумм и переход к пределу. Этот метод, основанный на связи определенного интеграла с вычислением первообразной, выражается формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru непрерывна на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru и F(x) –

любая первообразная для f(x) на Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . Тогда определенный инте-

грал от функции f(x) на Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru равен приращению первообразной

F(x) на этом отрезке:

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (25)

Доказательство.Разобьем отрезок Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru точками Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru на n-частичных отрезков Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , …, Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru (рисунок 10).

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Рисунок 10

Рассмотрим тождество Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Преобразуем каждую разность в скобках по теореме Лагранжа

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (26)

Получаем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru ;

следовательно, Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , (27)

где Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru есть некоторая точка интервала Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Так как функция Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru непрерывна на Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то она интегрируема на Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru на Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Переходя в равенстве (27) к пределу при Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , получаем

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , т.е. Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Равенство (25) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначения Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то формулу Ньютона-Лейбница (25) можно переписать в виде: Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Читается формула (25) так: чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , надо найти ее первообразную функцию Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru : Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Замечание 1. Мы ввели понятие Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru для случая Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . Его можно обобщить и на случай Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . Сделаем это так, чтобы формула Ньютона-Лейбница оставалась справедливой.

Положим, по определению, что для Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (28)

Проверим справедливость формулы Ньютона-Лейбница:

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Принимая во внимание (28), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Эта формула имеет место и для Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru : Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Замечание 2. Величина интеграла Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.е. Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , а зависит лишь от вида подынтегральной функции и отрезка интегрирования, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычис­ления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог полу­чить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Эта фор­мула значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач ча­стного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений оп­ределенного интеграла.

Пример 10. Вычислить определенные интегралы: а) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru ; б) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru ;

в) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Решение. а) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

б) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

в) Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Пример 11. Найти массу прямолинейного стержня Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , плотность которого в каждой точке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru равна Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Решение. По формуле (21) имеем: Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru (ед.массы).

Дальнейшие свойства определенного интеграла

2.1. Теорема о среднем. Если функция Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru непрерывна на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то существует точка Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru такая, что

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (29)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , где Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Применяя к разности Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru теорему Лагранжа, получим Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Теорема о среднем при Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , площади прямоугольника с высотой Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru и основанием Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru (рисунок 11). Число

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru (30)

называется средним значением функции Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Рисунок 11

2.2 Свойство неотрицательности.

Если функция Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru сохраняет знак на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , где Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то интеграл Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru имеет тот же знак, что и функция:

если Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (31)

Доказательство. По теореме о среднем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , где Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Так как Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru для всех Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то и Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , а Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , поэтому Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , т.е. Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , что требовалось доказать.

2.3. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru можно почленно интегрировать.

Если Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru при Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (32)

Доказательство. Так как Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то при Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru согласно свойству 6 имеем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , а по свойству 2 Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , т.е.

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Оценка интеграла.

Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru на отрезке Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , ( Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru ), то

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (33)

Доказательство. Так как для любого Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru имеем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то, согласно свойству 7, имеем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Применяя к крайним интегралам свойства 1 и 4, получаем

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Если Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть отрезок Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , а высоты равен m и М соответственно (рисунок 12).

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru

Рисунок 12

2.5. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (34)

Доказательство. Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru , получаем Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Отсюда, по определению модуля, следует, что Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

2.6. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.:

Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . (35)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru . Следовательно, Дальнейшие свойства определенного интеграла - student2.ru .

Это обозначает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Методы интегрирования

Для нахождения определенного интеграла применяют методы интегрирования, аналогичные методам интегрирования в неопределенном интеграле. Рассмотрим основные из них.

Наши рекомендации