Задачи для самостоятельного решения. Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

а) б)

в)

ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Основные понятия

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)

Операции над векторами

Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l = (lа₁, lа₂, lа₃).

Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:

Геометрически сумма и разность векторов строится как на рисунке:

Если точка О - начало координат, а М - точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А(x₁, y₁, z₁) и концом в точке В(x₂, y₂, z₂) в координатном виде записывается так: = .

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем

3) Найти вектор , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).

Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).

Задачи для самостоятельного решения

а) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,

б) Найти координаты вектора где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5), D(1, 6, 3).

в) Даны радиусы - векторы вершин треугольника АВС:

Показать, что треугольник АBC - равносторонний.

г) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.

д) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение и свойства

Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где j - угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) ;

б) если ^ (ортогональные вектора), то = 0;

в) ;

г) ;

д) , где λ- любое число.

Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).

Из определения имеем = .

б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?

Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,

7m = 28, m = 4.

в) Найти , если и ^ .

Из свойств скалярного произведения имеем: ,

т.к. ^ , тогда

г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).

Так как Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2,