Расчетно-графическая работа

Введение

В данной работе необходимо определить закон распределения вероятностей результата измерения по исходным данным. Расчетно-графическая работа включает в себя расчетно-пояснительную записку.

Расчетно-графическая работа

Выборка результатов измерений соответствующей варианту: 5,7,7,9,9,4,5,8,6,8,10,6,11,12,10,10,17,15,13,12.

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Разобьем выборку на 5 интервалов, определим величину интервала:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Занесем данные в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты наблюдений

х 4-6,6 6,6-9,2 9,2-11,8 11,8-14,4 14,4-17
Середина интервала 5,3 7,9 10,5 13,1 15,7
Частота Расчетно-графическая работа - student2.ru

Вычислим оценки Расчетно-графическая работа - student2.ru и Расчетно-графическая работа - student2.ru :

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru ,

где Расчетно-графическая работа - student2.ru коэффициент смещения (таблица 2).

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму. При построении разбиение на интервалы осуществляется таким образом, чтобы измеренные значения оказались серединами интервалов.

Таблица 2 – Значения коэффициента Расчетно-графическая работа - student2.ru в зависимости от количества наблюдений n

n Mk n Mk n Mk
1,253 1,025 1,013
1,128 1,023 1,012
1,085 1,021 1,010
1,064 1,019 1,008
1,051 1,018 1,007
1,042 1,017 1,006
1,036 1,016 1,006
1,032 1,015 1,005
1,028 1,014 1,004

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Рисунок 1 – Гистограмма

По виду гистограммы предположительно идентифицируем опытное распределение нормальным.

Определим, содержит ли результат наблюдения х=17 грубую погрешность.

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru 1. Проверка по критерию "3σ". Вычисляем удаленность подозрительного результата от центра распределения: Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Расчетно-графическая работа - student2.ru Определим границу погрешности: Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Так как, то можно сделать вывод, что результат x=17 не содержит грубой погрешности.

2. Проверка по критерию Смирнова Расчетно-графическая работа - student2.ru . Из таблицы 3 для принятого уровня значимости q =0,05 и объема выборки n=20 найдем Расчетно-графическая работа - student2.ru . Наличие грубой погрешности в результате х=17 не подтверждается, т. к.:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таблица 3 – Квантили распределения βk

Объем выборки Расчетно-графическая работа - student2.ru Предельное значение βk при уровне значимости q
0,100 0,050 0,0010 0,005 0,001
1,282 1,645 2,326 2,576 3,090
1,632 1,955 2,575 2,807 3,290
1,818 2,121 2,712 2,935 3,403
1,943 2,234 2,806 3,023 3,481
2,036 2,319 2,877 3,090 3,540
2,111 2,386 2,934 3,143 3,588
2,172 2,442 2,981 3,188 3,628
2,224 2,490 3,022 3,227 3,662
2,269 2,531 3,057 3,260 3,692
2,309 2,568 3,089 3,290 3,719
2,457 2,705 3,207 3,402 3,820
2,559 2,799 3,289 3,480 3,890
2,635 2,870 3,351 3,539 3,944
2,696 2,928 3,402 3,587 3,988
2,792 3,015 3,480 3,662 4,054
2,860 3,082 3,541 3,716 4,108
3,076 3,285 3,723 3,892 4,263
3,339 3,534 3,946 3,946 4,465
3,528 3,703 4,108 4,263 4,607

3. Проверка по критерию Романовского. Определяем характеристики распределения без учета подозрительного результата ( Расчетно-графическая работа - student2.ru ):

Расчетно-графическая работа - student2.ru По таблице 4 находим коэффициент Стьюдента при объеме выборки Расчетно-графическая работа - student2.ru и доверительной вероятности P = 0,95; Расчетно-графическая работа - student2.ru . Наличие грубой погрешности подтверждается, т. к.:

.

Таблица 4 – Критерий Стьюдента Расчетно-графическая работа - student2.ru (квантили Стьюдента)

Довери- тельная вероят- ность Р Число степеней свободы k
Расчетно-графическая работа - student2.ru
0,90 2,35 2,13 2,01 1,94 1,86 1,81 1,78 1,73 1,72 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64
0,95 3,18 2,78 2,57 2,45 2,31 2,23 2,18 2,10 2,07 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96
0,99 5,84 4,60 4,03 3,71 3,36 3,17 3,06 2,98 2,82 2,75 2,70 2,86 2,62 2,58

4. Проверка по критерию Шовене. При нахождении характеристик распределения участвуют все наблюдения. Вычисляем квантиль z по формуле:

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru .

По таблице значений функции Лапласа [1] определяем вероятность выхода результатов за квантиль Расчетно-графическая работа - student2.ru :

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Расчетно-графическая работа - student2.ru Тогда ожидаемое число наблюдений с результатом Расчетно-графическая работа - student2.ru Ом:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Так как Расчетно-графическая работа - student2.ru , то приходим к выводу об отсутствии грубой погрешности в результате наблюдения .

5. Проверка по критерию Ирвина. Для полученных экспериментальных данных определяют коэффициент по формуле:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Затем этот коэффициент сравним с табличным значением Расчетно-графическая работа - student2.ru , значения которого приведены в таблице 5. Т. к. λ=1.15<1.3=λq, то нулевая гипотеза не подтверждается, т. е. результат x=17 не содержит грубой погрешности.

Таблица 5 – Критерий Ирвина Расчетно-графическая работа - student2.ru

Число измерений n Уровень значимости
Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
2,8 3,7
2,2 2,9
1,5 2,0
1,3 1,8
1,2 1,7
1,1 1,6

Расчетно-графическая работа - student2.ru 6. Проверка по критериювариационного размаха. Для его использования определяют размах вариационного ряда упорядоченной совокупности наблюдений Расчетно-графическая работа - student2.ru :

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Выполним проверку по следующему неравенству:

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (1)

где Расчетно-графическая работа - student2.ru выборочное среднее арифметическое значение, вычисленное после исключения предполагаемого промаха (для Xcp=14, Расчетно-графическая работа - student2.ru );

Расчетно-графическая работа - student2.ru критериальное значение (таблица 6).

Таблица 6 – Критерий вариационного размаха

Расчетно-графическая работа - student2.ru 8 –9 10 –11 12 – 15 16 – 22 23 – 25 26 – 63
Расчетно-графическая работа - student2.ru 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9
                     

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Неравенство 1 выполняется: Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таким образом, результат x=17 не содержит грубой погрешности.

7. Проверка по критерию Диксона. При использовании критерия вычисляют коэффициент Диксона (наблюдаемое значение критерия) для проверки наибольшего или наименьшего экстремального значения в зависимости от числа измерений. В таблице 7 приведены формулы для вычисления коэффициентов.

Расчетно-графическая работа - student2.ru Для данного варианта: Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таблица 7 – Формулы коэффициентов Диксона

Объем выборки Расчетно-графическая работа - student2.ru Коэффициент Диксона Для наименьшего экстремального значения параметра Для наибольшего экспериментального параметра
3 – 7 Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
8 – 10 Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
11 – 13 Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
14 – 25 Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru

Таблица 8 – Критериальные значения коэффициентов Диксона (при принятом уровне значимости q)

Коэффициент Диксона Число измерений Расчетно-графическая работа - student2.ru при уровне значимости Расчетно-графическая работа - student2.ru
0,1 0,05 0,02 0,01
Расчетно-графическая работа - student2.ru 0,886 0,679 0,557 0,482 0,434 0,941 0,765 0,642 0,560 0,507 0,976 0,846 0,729 0,644 0,586 0,988 0,899 0,780 0,698 0,637
Расчетно-графическая работа - student2.ru 0,479 0,441 0,409 0,554 0,512 0,477 0,631 0,587 0,551 0,683 0,636 0,597
Расчетно-графическая работа - student2.ru 0,517 0,490 0,467 0,576 0,546 0,521 0,538 0,605 0,578 0,679 0,642 0,615
Расчетно-графическая работа - student2.ru 0,462 0,472 0,452 0,438 0,424 0,412 0,401 0,391 0,382 0,374 0,367 0,360 0,546 0,525 0,507 0,490 0,475 0,462 0,450 0,440 0,430 0,421 0,413 0,406 0,602 0,579 0,559 0,542 0,527 0,514 0,502 0,491 0,481 0,472 0,464 0,457 0,641 0,616 0,595 0,577 0,561 0,547 0,535 0,524 0,514 0,505 0,497 0,489

Вычисленные для выборки по формулам значения коэффициентов Диксона Расчетно-графическая работа - student2.ru сравним с табличным значением критерия Диксона Расчетно-графическая работа - student2.ru (таблица 8). Нулевая гипотеза об отсутствии грубой погрешности выполняется, если выполняется неравенство Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Если Расчетно-графическая работа - student2.ru , то результат признается грубой погрешностью и исключается из дальнейшей обработки. В нашем случае:r=-0.6<0.45=rq, т.е. грубая погрешность отсутствует.

Поскольку все критерии (7 из 7) показали отсутствие грубой погрешности, то результат наблюдения можно оставить в выборке.

Исключение систематических погрешностей измерений.

Если приведенные результаты представить графически, то можно увидеть на графике прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке 2.

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Рисунок 2 – График результатов

Модуль переменной составляющей систематической погрешности определим по формуле:

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (2)

где Расчетно-графическая работа - student2.ru разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений (по аппроксимирующей прямой);

Расчетно-графическая работа - student2.ru общее число результатов;

Расчетно-графическая работа - student2.ru порядковый номер измерения.

Расчетно-графическая работа - student2.ru Разность Расчетно-графическая работа - student2.ru определяется по аппроксимирующей прямой.

Расчетно-графическая работа - student2.ru В данном варианте Δс=13, тогда Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Округлив значение Расчетно-графическая работа - student2.ru до сотых долей (точность получениярезультатов) и исключим из результатов измерений, т. е.:

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (3)

где Расчетно-графическая работа - student2.ru поправка, вносимая в каждый результат.

Как видно, поправка представляет собой погрешность, взятую с обратным знаком.

Систематическая погрешность, определенная по формуле 2 примет значения:

0.65 1.3 1.95 2.6 3.25 3.9        
                   

Внеся исправления, получаем новую последовательность результатов: 3,35; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,37; 3,36; 3,36; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,38; 3,38; 3,40.

Определим статистические функции распределения. Результаты (без исключения грубых и систематических погрешностей, после упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены таблицей 9.

Таблица 9 – Промежуточные значения интервального ряда

Границы интервалов Середины интервалов Расчетно-графическая работа - student2.ru Частота попадания в интервалы Расчетно-графическая работа - student2.ru Статистическая вероятность (частость) Расчетно-графическая работа - student2.ru
3,36 – 3,388 3,374 0,10
3,388 – 3,416 3,402 0,25
3,416 – 3,444 3,430 0,40
3,444 – 3,472 3,458 0,15
3,472 – 3,50 3,486 0,10
Расчетно-графическая работа - student2.ru   1,0

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы:

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Рисунок 3 – Гистограмма результатов измерений

Определенные ранее среднеарифметическое и среднеквадратическое отклонения :

Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Вычислим дифференциальную функцию распределения Расчетно-графическая работа - student2.ru для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала и занесем в таблицу 10:

Расчетно-графическая работа - student2.ru . (4)

А затем, пользуясь статистической таблицей [1], определим дифференциальную функцию Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таблица 10 – Вероятностные параметры распределения

Середины интервалов Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru , Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
3,374 -1,392;1,392 0,1415 0,1071 0,0823 0,10
3,402 -0,635;0,635 0,3156 0,2388 0,2628 0,35
3,430 0,122 0,3924 0,2970 0,5478 0,75
3,458 0,878 0,2636 0,1995 0,8106 0,90
3,486 1,635 0,1002 0,0758 0,9489 1,0

Используя свойство нормального распределения Расчетно-графическая работа - student2.ru , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применим зависимость:

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (5)

где h – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,028.

Значения нормальной функции распределения находятся по таблице [2] или по формуле:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Для построения статистической функции распределения воспользуемся формулой для дополнительных вычислений:

Расчетно-графическая работа - student2.ru . (6)

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке 4.

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Рисунок 4 – Кривые интегральной функции распределений

При малых объемах выборки Расчетно-графическая работа - student2.ru для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий d. По заданным условиям уровень значимости Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Вычислим выборочное среднее арифметическое X, несмещенную Расчетно-графическая работа - student2.ru и смещенную Расчетно-графическая работа - student2.ru оценки СКО:

Расчетно-графическая работа - student2.ru Ом;

Расчетно-графическая работа - student2.ru Ом;

Расчетно-графическая работа - student2.ru Ом.

Проверяим согласие по критерию 1. Для этого определим значение d:

Расчетно-графическая работа - student2.ru Ом.

При n =20; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru из таблицы 12 находим квантили распределения d (после интерполяции):

Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Гипотеза о нормальности распределения по критерию 1, при выбранном уровне значимости подтверждается, так как:

Расчетно-графическая работа - student2.ru ;

или

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Проверка по критерию 2. По таблицам 12, 13 находим значения Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru , т. е. находим произведение Расчетно-графическая работа - student2.ru и сравниваем его с максимальным отклонением. Гипотеза о нормальности распределения по критерию 2 справедлива, так как в выборке нет ни одной разницы, превышающей значение:

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Таблица 11 – Квантили распределения статистики d

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
0,9359 0,9073 0,8899 0,7409 0,7153 0,6675
0,9137 0,8884 0,8733 0,7452 0,7236 0,6829
0,9001 0,8768 0,8631 0,7495 0,7304 0,6950
0,8901 0,8625 0,8570 0,7530 0,7360 0,7040
0,8827 0,8625 0,8511 0,7559 0,7404 0,7110
0,8769 0,8578 0,8468 0,7583 0,7440 0,7167
0,8722 0,8540 0,8436 0,7604 0,7470 0,7216
0,8682 0,8508 0,8409 0,7621 0,7496 0,7256
0,8648 0,8481 0,8385 0,7636 0,7518 0,7291

Таблица 12 – Квантили Расчетно-графическая работа - student2.ru интегральной функции Лапласа

Р 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
Расчетно-графическая работа - student2.ru 1,65 1,96 2,06 2,17 2,33 2,58

Таблица 13 – Значения Расчетно-графическая работа - student2.ru и Расчетно-графическая работа - student2.ru , соответствующие различным Расчетно-графическая работа - student2.ru и Расчетно-графическая работа - student2.ru

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru при уровне значимости Расчетно-графическая работа - student2.ru равном
0,01 0,02 0,05
0,98 0,98 0,96
11 – 14 0,99 0,98 0,97
15 – 20 0,99 0,99 0,98
21 – 22 0,98 0,97 0,96
23 – 27 0,98 0,98 0,97
28 – 32 0,99 0,98 0,97
33 – 35 0,99 0,98 0,98
36 – 49 0,99 0,99 0,98

Проверим с помощью Расчетно-графическая работа - student2.ru критерия гипотезу о нормальном законе распределения погрешностей в указанном эксперименте.

Расположим экспериментальные данные в порядке возрастания: 3,36; 3,38; 3,39; 3,39; 3,40; 3,40; 3,40; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,46; 3,47; 3,48; 3,50.

Вычисляем значение величины Расчетно-графическая работа - student2.ru :

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Вычисляем значение величины Расчетно-графическая работа - student2.ru :

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (7)

где значения коэффициентов Расчетно-графическая работа - student2.ru берутся из таблицы 14.

Т. к. Расчетно-графическая работа - student2.ru формула 7 примет следующий вид:

Расчетно-графическая работа - student2.ru

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Коэффициенты Расчетно-графическая работа - student2.ru , взятые из таблицы 14, имеют следующие значения:

Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru ; Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

Находим расчетное значение Расчетно-графическая работа - student2.ru критерия:

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

При определенном уровне значимости q (q=0,05) проверяем выполнение условия:

Расчетно-графическая работа - student2.ru , (8)

где Расчетно-графическая работа - student2.ru критическое значение критерия, взятое из таблицы 15.

Расчетно-графическая работа - student2.ru .

По Расчетно-графическая работа - student2.ru критерию условие (8) выполнено. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась.

Таблица 14 – Значение коэффициентов Расчетно-графическая работа - student2.ru

Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
k k-1 k-2 k-3 k-4 0,7071 0,6872 0,1677   0,6646 0,2413   0,6431 0,2806 0,0875   0,6233 0,3031 0,1401   0,6052 0,3164 0,1743 0,0561 0,5888 0,3244 0,1976 0,0947 0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399 0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695
Расчетно-графическая работа - student2.ru Расчетно-графическая работа - student2.ru
k k-1 k-2 k-3 k-4 k-5 k-6 k-7 k-8 k-9 0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303   0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539   0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240   0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433   0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 0,4996 0,3234 0,2498 0,1902 0,1402 0,0987 0,0545 0,0182 0,4982 0,3206 0,2456 0,1876 0,1378 0,0954 0,0516 0,0174 0,0054 0,4964 0,3178 0,2412 0,1851 0,1336 0,0911 0,0476 0,0168 0,0034 0,4942 0,3154 0,2387 0,1828 0,1304 0,0876 0,0436 0,0152 0,0022 0,0008
                                   

Таблица 15 – Критические значения Расчетно-графическая работа - student2.ru критерия

Расчетно-графическая работа - student2.ru Уровень значимости
0,01 0,02 0,05
0,753 0,756 0,767
0,687 0,707 0,748
0,686 0,715 0,762
0,713 0,743 0,788
0,730 0,760 0,803
0,749 0,778 0,818
0,764 0,791 0,829
0,781 0,806 0,842
0,792 0,817 0.850
0,805 0,828 0,859
0,814 0.837 0,866
0,825 0,846 0,874
0.835 0,855 0,881
0,844 0,863 0,887
0,853 0,870 0,893
0,862 0,878 0,899
0,874 0,885 0,906
0,881 0,894 0,911

3.Список используемой литературы:

1. Третьяк, Л. Н. Обработка результатов наблюдений : учеб. пособие / Л.Н. Третьяк. – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.

2. Третьяк, Л. Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями : учеб. пособие / Л. Н. Третьяк. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.

3. Сергеев, А. Г. Метрология, стандартизация, сертификация : учебник для студентов вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. – М. : Юрайт, 2010. – 820 с.

Наши рекомендации