Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях

В однородных уравнениях решение может потеряться в результате типовой замены и дальнейших сокращений, однако, на практике распространена и другая причина потери решений – это неосмотрительное деление. На самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru «игрек» оказался в знаменателе: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , но Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru при нулевом значении константы.

Аналогичная история с уравнением Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru Примера 3 того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru в знаменатель. Строго говоря, следовало предварительно проверить, а не является ли Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru при нулевом значении константы.

В действительности, конечно же, вовсе «не обошлось» – ситуация была под контролем, но я намеренно умолчал об этих нюансах на 1-ом уроке, чтобы не перегружать «чайников» информацией.

При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Чаще всего, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru нужно проверить, являются ли функции Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.

Перечисленные тонкости также теряют актуальность, если в задаче требуется найти только частное решение (см., например, Пример №2 первого урока).

Следующий диффур – самостоятельно:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме:

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Решение: «любимая функция» Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru не является решением, что убавляет хлопот. Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

После замены проводим максимальные упрощения:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Разделяем переменные:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Интегрируем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители)

Здесь многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , найти его корни и в результате: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru . Опытные студенты способны выполнить подбор корней и устно.
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Таким образом:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Получившийся общий интеграл упрощаем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

И только после упрощений выполняем обратную замену: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Ответ: общий интеграл: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Пример 8

Решить дифференциальное уравнение
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, и типичный пациент выглядит примерно так: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В практических заданиях
с однородными уравнениями частное решение требуют находить крайне редко, если честно, я даже не припомню таких случаев. Ну а если уж встретилась задача Коши в однородном уравнении, то, после изучения предыдущего урока, она не должна представлять для вас трудностей. Технология – точно такая же, как и для уравнений с разделяющимися переменными. Если уточнить, то почти всегда будут получаться не частные решения, а частные интегралы.

Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей во сне явится Александр Емелин известный персонаж с формулами на полосатом свитере.

И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность:
Вместо Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru подставляем Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , вместо Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru подставляем Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru :
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Очевидно, что Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru является одним из решений данного уравнения.
Проведем замену: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru и максимально упростим уравнение:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Интегрируем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Максимально упрощаем общий интеграл.
Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Константу Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru я переобозначу через Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru :
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
(Если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)
Собираем в правой части всё под логарифм, затем избавляемся от логарифмов
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Обратная замена: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Умножаем все слагаемые на Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru :
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Ответ: общий интеграл: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Примечание: Решение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru входит в общее решение (когда Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru ), поэтому его не нужно дополнительно указывать в ответе.

Проверка: Дифференцируем общий интеграл:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Очевидно, что Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru является одним из решений уравнения.
Проведем замену:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Разделяем переменные и интегрируем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Новорожденный общий интеграл получен, здесь константу я не стал загонять под логарифм, в данном случае – это ни к чему. Использовать или не использовать этот прием с константой – понимание придет с опытом.
Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru :
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Общий интеграл можно упростить:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Ответ: общий интеграл: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru . Ещё одно решение: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Примечание: здесь решение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru не вошло в общий интеграл (т.к. не существует соответствующего значения константы), поэтому его следует указать дополнительно!

Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Очевидно, что Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru является решением.
Данное уравнение является однородным, проведем замену:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Максимально упрощаем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Разделяем переменные и интегрируем:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru :
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Ответ: общий интеграл: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru . Ещё одно решение: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Примечание: также здесь можно выразить и общее решение: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , для этого сразу после интегрирования константу следует загнать под логарифм.

Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Обратная замена: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Ответ: общий интеграл: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Примеры решений

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:
Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru .
2) В линейное уравнение входит произведение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , где Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru – одинокая буковка «игрек» (функция), а Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , тоже зависящее только от «икс». В частности, Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru может быть некоторой константой Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

– Выражение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru тоже может быть некоторой константой Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , тогда линейное уравнение принимает вид: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru или Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru .

– Рядом с производной может находиться множитель Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru , зависящий только от «икс»: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru – это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях - student2.ru .

Наши рекомендации