Матрицы и действия над ними
Системы линейных уравнений
Понятия системы линейных уравнений и ее решения
Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными:
где 
- неизвестные;
- коэффициент при неизвестном 
в 
-ом уравнении, 
- свободный член -ого уравнения.
В компактном виде эту систему можно представить в записи:
.
В отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.
Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность 
чисел 
, что каждое из этих уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных 
соответствующими числами 
, 
.
Несовместной называется система линейных уравнений, которая не имеет ни одного решения.
Совместной называется система линейных уравнений, которая обладает решениями.
Определенной называется совместная система линейных уравнений, если она обладает одним – единственным решением, а неопределенной, если решений больше, чем одно.
Неизвестные (переменные) в системе линейных уравнений могут быть представлены вектором размерности :
Тогда и решение системы линейных уравнений может быть представлено вектором той же размерности:
Решением неопределенной системы линейных уравнений является множество векторов.
Задача теории систем линейных уравнений состоит:
1) в установлении совместности системы линейных уравнений;
2) в установлении определенности совместной системы линейных уравнений;
3) в указании способа нахождения решений совместной системы линейных уравнений.
Вопросы для самопроверки
¨ Какие уравнения называются линейными?
¨ Что является решением системы линейных уравнений?
¨ Какая система линейных уравнений называется несовместной?
¨ Относятся ли определенная и неопределенная системы линейных уравнений к совместным?
¨ Может быть неопределенная система линейных уравнений несовместной?
¨ Чем отличаются между собой определенная и неопределенная системы линейных уравнений?
¨ В чем состоит задача теории систем линейных уравнений?
Решение определенной системы линейных уравнений
Матрицы и действия над ними
Матрицей из 
строк и столбцов называется составленная из коэффициентов при неизвестных в системе линейных уравнений прямоугольная таблица
где 
- элемент матрицы, 
, .
- мерным вектором называется упорядоченная система чисел:
Компонентами (муж. род) вектора 
называются числа 
, 
Строки матрицы 
являются -мерными векторами 
, 
а столбцы - -мерными векторами 
Любой вектор может быть представлен как матрица:
Действия над матрицами соответствуют действиям над векторами.
Суммой двух матриц 
и 
является матрица 
элементы которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых матриц:
где 
Суммируются матрицы только одинаковой размерности.
Произведением матрицы 
на число 
называется матрица элементы которой есть произведения элементов матрицы на число :
где 
Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
, каждый элемент которой есть сумма произведений соответствующих элементов из строки матрицы и из столбца матрицы (по правилу “строка на столбец”):
где 
Умножаются первая матрица на вторую только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Получаемая в результате этого произведения матрица имеет столько же строк, сколько имеет первая матрица-сомножитель, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица-сомножитель.
▼
Примеры
Дано:
и 
.
Найти 
и 
.
Решение:
Дано:
и 
Найти 
Решение:
▲
Как правило, 
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.
Квадратная матрица
называется единичной.
Умножение на нее обладает следующими свойствами:
