Последовательность. Предел последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , то говорят, что задана числовая последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru :

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Числа Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называются членами последовательности, а число Последовательность. Предел последовательности - student2.ru – общим членом последовательности.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , найдется такой номер Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , что для всех членов последовательности с номерами Последовательность. Предел последовательности - student2.ru верно неравенство

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Обозначается Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противно случае – расходящейся.

Определение. Последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа Последовательность. Предел последовательности - student2.ru можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ), будет выполнено неравенство

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Обозначается: б.м. Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Определение.

1. Последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Обозначается Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

2. Последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Обозначается Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , все члены которой отличны от нуля, - бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность Последовательность. Предел последовательности - student2.ru бесконечно большая.

Кроме того, полезно иметь в виду следующее:

1. Пусть Последовательность. Предел последовательности - student2.ru Последовательность. Предел последовательности - student2.ru . Тогда Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

2. Пусть Последовательность. Предел последовательности - student2.ru (в том числе Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ), Последовательность. Предел последовательности - student2.ru (соответственно, Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , в том числе Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ), Последовательность. Предел последовательности - student2.ru Тогда Последовательность. Предел последовательности - student2.ru (соответственно, Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ).

Предел функции

Определение. Окрестностью точки Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется любой интервал с центром в точке Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , если для любого Последовательность. Предел последовательности - student2.ru найдется Последовательность. Предел последовательности - student2.ru такое, что Последовательность. Предел последовательности - student2.ru при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Это записывают так: Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют Последовательность. Предел последовательности - student2.ru и Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , то

1) Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ;

2) Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ;

3) Последовательность. Предел последовательности - student2.ru (при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru ).

Определение.

1. Число А называется пределом функции f(x) при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , если для любого числа Последовательность. Предел последовательности - student2.ru найдется такое число Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , что для всех значений Последовательность. Предел последовательности - student2.ru выполняется неравенство Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Обозначается: Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

2. Число А называется пределом функции f(x) при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , если для любого числа Последовательность. Предел последовательности - student2.ru найдется такое число Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , что для всех значений Последовательность. Предел последовательности - student2.ru выполняется неравенство Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Обозначается: Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Определение.

1. Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , где Последовательность. Предел последовательности - student2.ru . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) справа в точке а (или правосторонним пределом), если для любой последовательности Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , сходящейся к а и такой, что все ее члены больше, чем а, соответствующая последовательность значений функции Последовательность. Предел последовательности - student2.ru сходится к числу А.

Обозначается: Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

2. Пусть функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , где Последовательность. Предел последовательности - student2.ru . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) слева в точке а (или левосторонним пределом), если для любой последовательности Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , сходящейся к а и такой, что все ее члены меньше, чем а, соответствующая последовательность значений функции Последовательность. Предел последовательности - student2.ru сходится к числу А.

Обозначается: Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Очевидно, что Последовательность. Предел последовательности - student2.ru существует в том и только в том случае, когда существуют и односторонние пределы Последовательность. Предел последовательности - student2.ru и Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , причем все три числа равны, т.е.

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru = Последовательность. Предел последовательности - student2.ru = Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Второй замечательный предел

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Непрерывность функции

Определение. Функция Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется непрерывной при х = а
(в точке а), если:

1) функция Последовательность. Предел последовательности - student2.ru определена в точке а и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции Последовательность. Предел последовательности - student2.ru в точке а;

3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Определение. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Определение. Точка а, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке а существуют конечные пределы Последовательность. Предел последовательности - student2.ru и Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , такие что Последовательность. Предел последовательности - student2.ru Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , то а называется точкой разрыва первого рода. Если в точке а существует конечный предел Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , а Последовательность. Предел последовательности - student2.ru не определено или Последовательность. Предел последовательности - student2.ru , то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва первого рода функции, не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции, при этом величина Последовательность. Предел последовательности - student2.ru называется скачком функции в точке а.

Если хотя бы один из пределов Последовательность. Предел последовательности - student2.ru и Последовательность. Предел последовательности - student2.ru не существует или равен бесконечности, то точку а называют точкой разрыва второго рода.

Решение типового задания.

Пример 1. Найти Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Решение.Так как пределы числителя и знаменателя при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru равны нулю, то мы имеем неопределенность вида Последовательность. Предел последовательности - student2.ru . «Раскроем» эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель (x+2):

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Пример 2.Найти Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида Последовательность. Предел последовательности - student2.ru . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x4. В результате получим

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

поскольку при Последовательность. Предел последовательности - student2.ru функции 5/x3 и 7/x4 являются бесконечно малыми.

Пример 3. Найти Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Решение.Здесь мы также имеем неопределенность вида Последовательность. Предел последовательности - student2.ru .

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю:

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Пример 4.Найти Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Решение.Так как Последовательность. Предел последовательности - student2.ru под знаком предела, то

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Пример 5. Найти Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Решение. Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Последовательность. Предел последовательности - student2.ru

Задачи №91-120:

Найти пределы (не применяя правило Лопиталя):

Наши рекомендации