Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Основные правила дифференцирования - student2.ru , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций

1)С¢ = 0; 9) Основные правила дифференцирования - student2.ru

2)(xm)¢ = mxm-1; 10) Основные правила дифференцирования - student2.ru

3) Основные правила дифференцирования - student2.ru 11) Основные правила дифференцирования - student2.ru

4) Основные правила дифференцирования - student2.ru 12) Основные правила дифференцирования - student2.ru

5) Основные правила дифференцирования - student2.ru 13) Основные правила дифференцирования - student2.ru

6) Основные правила дифференцирования - student2.ru 14) Основные правила дифференцирования - student2.ru

7) Основные правила дифференцирования - student2.ru 15) Основные правила дифференцирования - student2.ru

8) Основные правила дифференцирования - student2.ru 16) Основные правила дифференцирования - student2.ru

Производная сложной функции

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда Основные правила дифференцирования - student2.ru

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Тогда (lnïxï)¢= Основные правила дифференцирования - student2.ru , т.к. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Учитывая полученный результат, можно записать Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Отношение Основные правила дифференцирования - student2.ru называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Производная показательно- степенной функции

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

По полученной выше формуле получаем: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Производные этих функций: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Окончательно:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

т.к. g¢(y) ¹ 0 Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Известно, что Основные правила дифференцирования - student2.ru

По приведенной выше формуле получаем:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Т.к. Основные правила дифференцирования - student2.ru то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Сначала преобразуем данную функцию: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Наши рекомендации