Статическая задача для толстостенной трубы

Расчет толстостенных труб

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru В толстостенных трубах, нагруженных равномерным давлением, напряжения и деформации не изменяются вдоль оси трубы. При этом распределение напряжений и деформаций происходит одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к этой оси. По граням малого криволинейного элемента, выделенного в поперечном сечении трубы (рис. 5.5.1), действуют нормальные напряжения – радиальные σr и окружные σθ. Каждая точка трубы при ее деформации получает радиальное перемещение u. Величины напряжений σr и σθ, а также перемещения u зависят от расстояния r от рассматриваемой точки трубы до ее оси.

Если сплошная (не составная) труба с внутренним радиусом а и наружным радиусом b не имеет днищ и нагружена равномерным внутренним ра и наружным рb давлением, то величины σr, σθ и u определяются по формулам Ламе

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

Поскольку в точках толстостенных труб реализуется сложное (плоское) напряженное состояние, оценка прочности их производится на основе тех или иных критериев (теорий) прочности.

Формулы Ламе используются, в частности, при расчете составных труб (рис. 5.5.2). В соответствии с решением А.В. Гадолина основные геометрические и силовые параметры таких труб определяются по формулам:

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru радиальный натяг: Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru , (5.5.2)

внешний радиус внутренней трубы: Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru , (5.5.3)

давление от натяга: Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru (5.5.4)

Условие прочности в наиболее напряженных точках составной трубы в соответствии с критерием наибольших касательных напряжений (III теория прочности) имеет вид

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru (5.5.5)

Функция напряжения

Дальнейшее сокращение неизвестных будем рассматривать при отсутствии объемных сил. Дифференциальные уравнения равновесия принимают вид

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru ,

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

Так как в два дифференциальных уравнения равновесия входят три неизвестных напряжения, то, очевидно, что сами напряжения зависят от одной функции – функции напряжений Эри Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru . Если напряжения выразить через функцию напряжений по формулам Эри:

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

то дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются автоматически. Покажем, что первое уравнение равновесия выполняется. Для этого возьмем производные от формул Эри

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

Суммируя левые и правы части этих равенств, получим

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru ,

т.е. первое дифференциальное уравнение равновесия выполняется. Аналогично, покажем, что и второе уравнение выполняется. Берем производные формул Эри, входящие во второе уравнение равновесия

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

Подставляя эти производные во второе уравнение, получаем тождество.

Статическая задача для толстостенной трубы - student2.ru

Таким образом, показано, что дифференциальные уравнения равновесия выполняются автоматически, если напряжения искать через функцию напряжений по формулам Эри.

Наши рекомендации