Завдання на самостійну роботу

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. В. Даля

завдання на самостійну роботу - student2.ru

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять і самостійної роботи

З дисципліни

«Рівняння математичної фізики»

Для студентів 4 курсу

напрямку «Прикладна математика»

(денної та заочної форм навчання)

(електронне видання)

З А Т В Е Р Д Ж Е Н О

на засіданні кафедри

„Прикладна

математика”

Протокол № 7

від 13.02.2013 р.

ЛУГАНСЬК СНУ ім. В.Даля 2013

Практичні заняття 1-3.

Тема:Диференціальні рівняння математичної фізики.

Стислий зміст:Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку з частими похідними.

Мета і задачі: Ознайомлення з трьома типами диференціальних рівнянь: гіперболічний, еліптичний та параболічний типи.

Диференціальні рівняння математичної фізики – це конкретні рівняння в частинних похідних, що зустрічаються при розв’язанні деяких фізичних задач. Будь-яку задачу математичної фізики можна розглядати як задачу розв’язання деякого диференціального рівняння з частинними похідними при певних додаткових умовах.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними від невідомої функції завдання на самостійну роботу - student2.ru називається рівняння завдання на самостійну роботу - student2.ru -го порядку, якщо воно містить хоча б одну похідну завдання на самостійну роботу - student2.ru -го порядку і не містить похідних вищого порядку.

Ми будемо вивчати диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку і однією невідомою функцією.

Рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції та її похідних.

Рівняння з частинними похідними називається квазілінійним, якщо воно лінійне відносно всіх похідних вищих порядків від невідомої функції.

Наприклад,

завдання на самостійну роботу - student2.ru - лінійне рівняння,

завдання на самостійну роботу - student2.ru - квазілінійне рівняння другого порядку щодо функції завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru - нелінійне рівняння.

Рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru , (1)

є рівнянням гіперболічного типу, якщо завдання на самостійну роботу - student2.ru , параболічного типу, якщо завдання на самостійну роботу - student2.ru , рівнянням еліптичного типу, якщо завдання на самостійну роботу - student2.ru . Щоб звести (1) до канонічного вигляду, треба скласти рівняння характеристик

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

знайти загальні інтеграли останнього рівняння. І ввести нові нєзалежні змінні в рівнянні (1).

Приклад 1. Звести до канонічного вигляду рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оскільки завдання на самостійну роботу - student2.ru , то рівняння скрізь гіперболічного типу, крім осей координат, які є лініями параболічності. Його можна звести до канонічного вигляду в кожному з координатних кутів. Рівняння характеристик завдання на самостійну роботу - student2.ru має такі два загальні інтеграли: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Отже, треба ввести нові змінні завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Обчислимо частинні похідні:

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru

завдання на самостійну роботу - student2.ru

завдання на самостійну роботу - student2.ru

Підставимо значення цих частинних похідних у рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Остаточно дістаємо завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 2. Звести до канонічного вигляду рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

У даному разі завдання на самостійну роботу - student2.ru , отже, рівняння є рівнянням параболічного типу. Запишемо рівняння характеристик

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

його загальний інтеграл завдання на самостійну роботу - student2.ru . Маємо одну сім’ю дійсних характеристик. Покладемо завдання на самостійну роботу - student2.ru . За завдання на самостійну роботу - student2.ru візьмемо довільну двічі неперервно диференційовну функцію, але таку, щоб якобіан перетворення завдання на самостійну роботу - student2.ru в області, де зводимо рівняння до канонічного вигляду. Візьмемо завдання на самостійну роботу - student2.ru . Частинні похідні в нових змінних мають вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru

завдання на самостійну роботу - student2.ru

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Підставляємо їх у рівняння і дістаємо остаточну відповідь

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 3. Звести до канонічного вигляду рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тут завдання на самостійну роботу - student2.ru . Рівняння є рівнянням еліптичного типу. Маємо таке рівняння характеристик:

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Розв’язуємо його: завдання на самостійну роботу - student2.ru , звідси завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Введемо заміну змінних завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Підставляємо в рівняння частинні похідні

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Після спрощення дістаємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 4. Звести до канонічного вигляду рівняння Трікомі

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

У даному разі завдання на самостійну роботу - student2.ru . При завдання на самостійну роботу - student2.ru рівняння є рівнянням параболічного типу. Задана початкова форма вже є канонічною. Маємо таке рівняння характеристик:

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

При завдання на самостійну роботу - student2.ru рівняння є еліптичним. З рівняння характеристик дістаємо завдання на самостійну роботу - student2.ru , звідки завдання на самостійну роботу - student2.ru . Заміною завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru дістаємо такий канонічний вигляд рівняння Трікомі в області еліптичності:

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

При завдання на самостійну роботу - student2.ru рівняння є гіперболічним. Рівняння характеристик розпадається на два рівняння завдання на самостійну роботу - student2.ru , звідки завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Заміною завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru надамо рівнянню такого канонічного вигляду в області гіперболічності

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Маємо рівняння із сталими коефіцієнтами для функції завдання на самостійну роботу - student2.ru від трьох незалежних змінних. Початковому рівнянню поставимо у відповідність квадратичну форму

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Щоб знайти перетворення, яке звело б початкове рівняння до канонічного вигляду, треба спочатку знайти перетворення, яке зводить до канонічного вигляду відповідну канонічну форму.

Введемо такі позначення:

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Звідси завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Отже, матриця переходу від нових змінних завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru до старих завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru в канонічній формі має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тепер матрицю шуканого перетворення дістаємо із матриці завдання на самостійну роботу - student2.ru транспонуванням

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

У початковому рівнянні переходимо до нових незалежних змінних за формулами завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Частинні похідні у нових змінних мають вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Підставимо їх у рівняння, після зведення подібних членів дістаємо шуканий канонічний вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 6. Знайти загальний розв’язок рівняння завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Спочатку зводимо рівняння до канонічного вигляду завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Рівняння характеристик має вигляд завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Вводимо заміну завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Після спрощень дістаємо завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Введемо позначення завдання на самостійну роботу - student2.ru , тоді останнє рівняння має вигляд завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - параметр цього рівняння.

Проінтегруємо ці рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Згадавши позначення завдання на самостійну роботу - student2.ru , маємо завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Інтегруємо знову:

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru - довільні функції. Повернувшись до старих змінних завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru , дістаємо загальний розв’язок початкового рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Виконавши заміну змінних завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru (дивись приклад 1), дістаємо канонічний вигляд початкового рівняння завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Запровадимо нову функцію завдання на самостійну роботу - student2.ru . Це рівняння можна розглядати як звичайне диференціальне рівняння з незалежною змінною завдання на самостійну роботу - student2.ru , оскільки завдання на самостійну роботу - student2.ru входить сюди як параметр.

Отже,

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

де завдання на самостійну роботу - student2.ru - довільна функція. Маємо завдання на самостійну роботу - student2.ru . З другого боку, завдання на самостійну роботу - student2.ru . Тепер вважаємо завдання на самостійну роботу - student2.ru незалежною змінною, а завдання на самостійну роботу - student2.ru параметр. Проінтегруємо по завдання на самостійну роботу - student2.ru : завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru - довільна функція. Остаточно маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

тут завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Контрольні питання:

1. Евклідова метрика в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

2. Околиця деякої крапці в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

3. Відкриті та замкнуті множники в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

4. Критерій Коши повноти в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

5. Компакти в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

6. Лема Лєбєга.

7. Подобласті в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

8. Класи завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

9. Кусочно-неперервні функції в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

10. Поверхні класу завдання на самостійну роботу - student2.ru .

11. Квазилінійні диференціальні рівняння другого порядку.

12. Невироджені перетворення змінних в завдання на самостійну роботу - student2.ru .

13. Інваріанти квадратичних форм як основа класифікації диференціальних рівнянь.

Практичні заняття 4-5.

Тема:Постановка задач математичної фізики.

Стислий зміст:Моделювання задач математичної фізики: початкові та граничні умови.

Мета і задачі: Ознайомлення з трьома типами крайових задач математичної фізики.

Поставити крайову задачу, що відповідає розглядуваному фізичному процесові, означає.

1. Вибрати вдало функцію (величину), яка характеризувала б даний фізичний процес (при цьому реальний фізичний процес замінюють деяким ідеальним процесом, але так, щоб зберігались основні властивості реального процесу), вибрати систему координат в залежності всіх умов задачі, але так, щоб шукана функція залежала від мінімальної кількості змінних;

2. Використовуючи фізичні закони і співвідношення, скласти диференціальне рівняння для функції, що характеризують даний процес;

3. Встановити початкові умови для шуканої функції, тобто записати значення фізичних характеристик, що описують даний процес в початковий момент;

4. Сформулювати крайові умови, тобто записати умови процесу на межі тіла. Якщо розглядаємо нескінченний об’єм, то записуємо умови поведінки процесу на нескінченності.

Приклад 1. Верхній кінець пружного однорідного вертикально підвішеного важного стрижня коротко прикріплено до стелі ліфту, який вільно падає, причому, досягнувши швидкості завдання на самостійну роботу - student2.ru , він миттєво зупиняється. Поставити задачу про малі поздовжні коливання цього стрижня. завдання на самостійну роботу - student2.ru

Нехай зміщення завдання на самостійну роботу - student2.ru поперечного перерізу вздовж осі Ox є функцією, яка характеризує даний процес. Верхній кінець стрижня в момент зупинки вибираємо на початок координат, вісь Ox направляємо вертикально вниз (рис. 1). Розглянемо елемент стрижня завдання на самостійну роботу - student2.ru . Для визначення пружних сил, які діють на цей елемент, використаємо закон Гука завдання на самостійну роботу - student2.ru , де X – проекція на вісь Ox сили завдання на самостійну роботу - student2.ru , з якою частина стрижня, що лежить нижче розглядуваного перерізу, діє на частину, що лежить вище цього перерізу; S – площа перерізу; E – модуль пружності. На основі закону Гука маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru Тут було використано теорему Лагранжа про скінченні прирости. Застосовуючи другий закон Ньютона для розглядуваного елемента та враховуючи приклади Даламбера, записуємо

- завдання на самостійну роботу - student2.ru + завдання на самостійну роботу - student2.ru

де завдання на самостійну роботу - student2.ru - прискорення сили тяжіння;

завдання на самостійну роботу - student2.ru - щільність стрижня;

завдання на самостійну роботу - student2.ru - координата центру тяжіння.

Після скорочення на завдання на самостійну роботу - student2.ru і переходу до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru дістаємо диференціальне рівняння малих поздовжніх коливань стрижня

завдання на самостійну роботу - student2.ru

і остаточно маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оскільки в момент зупинки стрижня (при t=0 ) його поперечні перерізи перебувають у стані спокою і їм надається стала швидкість завдання на самостійну роботу - student2.ru , то початкові умови мають вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Запишемо тепер крайові умови. Верхній кінець стрижня (x=0) нерухомий, тому крайова умова має вигляд завдання на самостійну роботу - student2.ru . Нижній кінець стрижня (x= завдання на самостійну роботу - student2.ru ) вільний. Для одержання крайової умови застосуємо міркування, аналогічні наведеним при виведенні рівняння, тільки тепер будемо розглядати елемент завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Запишемо другий закон Ньютона для цього елемента

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

звідки, переходячи до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru , дістаємо крайову умову для кінця завдання на самостійну роботу - student2.ru : завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння малих поздовжніх коливань точного стрижня змінного перерізу S=S(x). Розглянути випадок конічного стрижня. Оформулювати початкові і крайові умови для таких випадів:

а) один кінець (x=0) стрижня закріплено, другий завдання на самостійну роботу - student2.ru розтягнуто силою F, в момент t=0 дія сили миттєво припиняється;

б) до кінця завдання на самостійну роботу - student2.ru стрижня, який перебуває в стані рівноваги, в момент t=0 прикладено розтягу вальну силу F(t);

в) стрижень закріплено пружно в точці x=0, а до вільного кінця завдання на самостійну роботу - student2.ru прикріплено вантаж завдання на самостійну роботу - student2.ru . Початкові умови довільні.

Нехай зміщення завдання на самостійну роботу - student2.ru - характеризуюча функція. Оскільки стрижень тонкий, то масовими силами можна нехтувати. Розглянемо елемент стрижня завдання на самостійну роботу - student2.ru . Враховуючи закон Гука, маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тоді сили інерції

завдання на самостійну роботу - student2.ru , 0< завдання на самостійну роботу - student2.ru <1,

За принципом Даламбера

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Зробимо перетворення

завдання на самостійну роботу - student2.ru , 0< завдання на самостійну роботу - student2.ru <1.

І поділимо на завдання на самостійну роботу - student2.ru . Переходячи до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru , остаточно маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

завдання на самостійну роботу - student2.ru Розглянемо випадок конічного стрижня. Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru - висота конуса, завдання на самостійну роботу - student2.ru - основа. Тоді (рис. 2) маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

звідки

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тоді рівняння коливань переписуємо так

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Запишемо початкові та крайові умови для частинних випадків.

а) За законом Гука маємо (при завдання на самостійну роботу - student2.ru ) завдання на самостійну роботу - student2.ru , звідки завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Друга початкова умова завдання на самостійну роботу - student2.ru очевидна.

Крайові умови: завдання на самостійну роботу - student2.ru (кінець нерухомий), на правому кінці

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

тоді завдання на самостійну роботу - student2.ru .

б) Стрижень перебуває у стані рівноваги, отже, в початковий момент завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru . Кінець завдання на самостійну роботу - student2.ru нерухомий, тоді завдання на самостійну роботу - student2.ru , а для граничного елемента ( завдання на самостійну роботу - student2.ru ) згідно з другим законом Ньютона завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Переходячи до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru , дістаємо завдання на самостійну роботу - student2.ru .

в) Початкові умови довільні: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

За умовою задачі, кінець завдання на самостійну роботу - student2.ru закріплено пружно, тобто на цей кінець зліва діє поздовжня сила, пропорційна зміщенню і спрямована у протилежному до зміщення напрямку завдання на самостійну роботу - student2.ru , з правого боку на розглядуваний граничний елемент завдання на самостійну роботу - student2.ru діє сила завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тому другий закон Ньютона для цього елемента має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Переходячи до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru , дістаємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

На вільному кінці завдання на самостійну роботу - student2.ru згідно з другим законом Ньютона

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Отже, крайову умову на цьому кінці остаточно записуємо так:

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

завдання на самостійну роботу - student2.ru Приклад 3. Поставити крайову задачу для поперечних коливань важкої струни, якщо вона обертається з кутовою швидкістю завдання на самостійну роботу - student2.ru відносно вертикального положення рівноваги, верхній кінець коротко закріплено, а нижній – вільний (рис. 3).

Вісь завдання на самостійну роботу - student2.ru скеруємо по струні в положенні рівноваги, причому початок осі сумістимо із закріпленим кінцем струни. Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru - поперечне відхилення точок струни від положення рівноваги. Вважаємо, що струна однорідна, а коливання малі. Виділяємо елемент струни завдання на самостійну роботу - student2.ru .

У даному разі маємо справу із складним рухом. Коливання струни що - до осі буде відносним рухом, обертання – переносним. Складаємо для розглядуваного елемента струни диференціальне рівняння динаміки відносного руху

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Тут завдання на самостійну роботу - student2.ru - рівнодійна сил натягу, викликаних вагою струни завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

завдання на самостійну роботу - student2.ru - прискорення сили тяжіння.

Проекція на вісь завдання на самостійну роботу - student2.ru рівнодійної цих сил є

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

сили інерції

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

доцентрова сила, спрямована по осі завдання на самостійну роботу - student2.ru

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

сили Коріоліса, проекція їх на вісь завдання на самостійну роботу - student2.ru дорівнює нулеві

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Отже, за принципом Даламбера маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Використовуючи теорему про середнє значення, скорочуючи на завдання на самостійну роботу - student2.ru і переходячи до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru , дістаємо шукане рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru

Початкові умови довільні: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Крайові умови: кінець завдання на самостійну роботу - student2.ru - нерухомий, завдання на самостійну роботу - student2.ru ; нижній кінець завдання на самостійну роботу - student2.ru - вільний, завдання на самостійну роботу - student2.ru - обмежена функція.

Зауваження. Якщо ж початок осі завдання на самостійну роботу - student2.ru сумістити з вільним кінцем, то рівняння має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 4. Поставити крайову задачу для визначення температури однорідного ізотропного стрижня завдання на самостійну роботу - student2.ru з тепло ізольованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура є довільною функцією завдання на самостійну роботу - student2.ru . Стрижень має сталий поперечний переріз. Розглянути випадки: а) кінці стрижня підтримуються при заданій температурі; б) на кінці стрижня подається ззовні заданий тепловий потік; в) на кінцях стрижня відбувається конвективний теплообмін ( за законом Ньютона) з середовищем, температура якого задана.

За функцію, що характеризує даний процес, візьмемо температуру завдання на самостійну роботу - student2.ru . Складемо для неї диференціальне рівняння. Для цього спочатку треба скласти рівняння теплового балансу. Розглянемо елемент стрижня завдання на самостійну роботу - student2.ru . Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru - завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru площа завдання на самостійну роботу - student2.ru поперечного перерізу, завдання на самостійну роботу - student2.ru - коефіцієнт внутрішньої теплопровідності. Використаємо закон внутрішньої теплопровідності в твердих тілах (закон Фур’є) для одновимірного випадку завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - кількість тепла, що протікає за одиницю часу в напрямку осі завдання на самостійну роботу - student2.ru через площадку завдання на самостійну роботу - student2.ru , перпендикулярну до осі завдання на самостійну роботу - student2.ru . Згідно з цим законом сума тепла, що надходить у розглядуваний елемент завдання на самостійну роботу - student2.ru за одиницю часу через перерізи завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru є

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Це тепло іде на приріст кількості тепла в елементі за одиницю часу завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - питома теплоємність, завдання на самостійну роботу - student2.ru - щільність маси. Звідси

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Поділимо останню рівність на завдання на самостійну роботу - student2.ru , далі переходимо до границі при завдання на самостійну роботу - student2.ru . Остаточно маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Здобуте рівняння є рівняння теплопровідності. Початкова умова очевидна:

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Розглянемо крайові умови:

а) Кінці стрижня підтримуються при заданій температурі, тобто завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru

б) Використовуючи закон Фур’є, можна одразу записати крайові умови:

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Якщо завдання на самостійну роботу - student2.ru , то маємо випадок теплової ізоляції кінців.

в) У цьому разі використовуємо закон Ньютона завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - кількість тепла, що протікає за одиницю часу через площадку завдання на самостійну роботу - student2.ru поверхні тіла у навколишній простір; завдання на самостійну роботу - student2.ru - температура навколишнього середовища. На лівому кінці маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Аналогічно на правому кінці - завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - значення температури навколишнього середовища біля кінців стрижня.

Приклад 5. Поставити крайову задачу про охолодження тонкого кільця, на поверхні якого відбувається конвективний теплообмін (за законом Ньютона) з навколишнім середовищем, що має задану температуру. Нерівномірністю розподілу температури по товщині кільця нехтувати.

Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru - радіус кільця, координата завдання на самостійну роботу - student2.ru - довжина дуги, яку відраховуємо вздовж кільця. завдання на самостійну роботу - student2.ru – температура кільця.

Розглянемо елемент кільця ( завдання на самостійну роботу - student2.ru ). Складемо для нього рівняння теплового балансу. Враховуючи закон Фур’є, маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

а на підставі закону Ньютона про конвективний теплообмін

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

де завдання на самостійну роботу - student2.ru - коефіцієнт теплообміну, завдання на самостійну роботу - student2.ru - довжина поперечного перерізу кільця. Запишемо приріст кількості тепла в елементі ( завдання на самостійну роботу - student2.ru ) кільця за одиницю часу

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

( завдання на самостійну роботу - student2.ru – питома теплоємність, завдання на самостійну роботу - student2.ru - щільність, завдання на самостійну роботу - student2.ru - площа поперечного перерізу).

Отже, рівняння теплового балансу має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Після спрощень дістаємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Початкова умова: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Крайові умови: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Зауваження. Можна перейти до нових незалежних координат завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - кутова координата. Тоді рівняння має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

При таких початкових та крайових умовах завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 6. Дві пластинки завтовшки завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru , виготовлені з різних матеріалів і нагріті до температур завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru , в момент завдання на самостійну роботу - student2.ru вводиться в дотик одна з другою. Скласти рівняння, яке визначало б процес вирівнювання температур, вважаючи, що вільні грані тепло ізольовані від навколишнього простору.

Позначимо через завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru температури пластинок у загальному випадку. Але оскільки вільні грані тепло ізольовані, то завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru . Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - відповідно об’єм і поверхня першої та другої пластинок, завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - їх коефіцієнт теплопровідності, завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - їх щільності, завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - їх питомі теплоємності.

Припустимо, що завдання на самостійну роботу - student2.ru . За законом Фур’є, кількість тепла, що надходить в об’єм завдання на самостійну роботу - student2.ru через завдання на самостійну роботу - student2.ru (з використанням формули Остроградського), знаходимо з виразу

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Для підвищення температури об’єму завдання на самостійну роботу - student2.ru на величину завдання на самостійну роботу - student2.ru за час завдання на самостійну роботу - student2.ru потрібно таку кількість тепла:

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

а для підвищення температури всього об’єму завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оскільки завдання на самостійну роботу - student2.ru , то завдання на самостійну роботу - student2.ru , або завдання на самостійну роботу - student2.ru завдання на самостійну роботу - student2.ru , аналогічно дістаємо рівняння при завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Початкові умови: завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Для визначення крайових умов скористаємось законом Фур’є, вважаючи, що він справедливий аж до самих границь, завдання на самостійну роботу - student2.ru , але тепловий потік на межі дорівнює нулеві. Звідси завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Аналогічно вважаючи, що закон Фур’є справедливий аж до самих границь взаємного дотику пластинок, маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оскільки між пластинами відсутній тепло ізольований шар, то завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Приклад 7. Вивести рівняння стаціонарного процесу дифузії:

а) в однорідному ізотропному середовищі, яке перебуває в стані спокою,

б) в однорідному ізотропному середовищі, яке рухається із заданою швидкістю (наприклад, вздовж осі завдання на самостійну роботу - student2.ru ).

Нехай завдання на самостійну роботу - student2.ru - концентрація. Використовуємо закон Нерста: завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - вектор щільності потоку речовини, завдання на самостійну роботу - student2.ru - коефіцієнт дифузії. Крім цього дифузійного потоку речовини, врахуємо потік переносу, так званий трансляційний потік завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru швидкість руху середовища. Сумарний потік речовини: завдання на самостійну роботу - student2.ru . Спроектуємо його на напрям завдання на самостійну роботу - student2.ru . Використовуючи закон зберігання речовини для нерухомої поверхні завдання на самостійну роботу - student2.ru , маємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Застосовуючи формулу Остроградського, дістаємо

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оскільки об’єм завдання на самостійну роботу - student2.ru - довільний, а завдання на самостійну роботу - student2.ru , то рівняння стаціонарного процесу дифузії остаточно має вигляд

завдання на самостійну роботу - student2.ru

або

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Звідси, очевидно, маємо такі частинні випадки:

а) рівняння стаціонарного процесу дифузії в однорідному ізотропному середовищі, яке перебуває в стані спокою завдання на самостійну роботу - student2.ru : завдання на самостійну роботу - student2.ru .

б) рівняння стаціонарного процесу дифузії в однорідному ізотропному середовищі, яке рухається із заданою швидкістю завдання на самостійну роботу - student2.ru (наприклад, вздовж осі завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru ):

завдання на самостійну роботу - student2.ru ,

яке називають рівнянням газової атаки.

Приклад 8. Показати, виходячи з рівнянь Максвела, що потенціал електростатичного поля справджує рівняння Пуассона.

Запишемо рівняння Максвела для електромагнітного поля в однорідному ізотропному середовищі

завдання на самостійну роботу - student2.ru (2)

завдання на самостійну роботу - student2.ru (3)

завдання на самостійну роботу - student2.ru (4)

завдання на самостійну роботу - student2.ru (5)

де завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru - вектори відповідно електричного та магнітного полів;

завдання на самостійну роботу - student2.ru - діелектрична стала;

завдання на самостійну роботу - student2.ru - магнітна проникливість;

завдання на самостійну роботу - student2.ru - швидкість світла в порожнечі;

завдання на самостійну роботу - student2.ru і завдання на самостійну роботу - student2.ru - щільності зарядів і струмів, які є джерелами поля.

У випадку електростатичного поля завдання на самостійну роботу - student2.ru , звідки випливає, що завдання на самостійну роботу - student2.ru - потенціальний вектор, який можна зобразити у вигляді завдання на самостійну роботу - student2.ru , де завдання на самостійну роботу - student2.ru - потенціал поля в точці завдання на самостійну роботу - student2.ru . Підставимо завдання на самостійну роботу - student2.ru у рівняння (4)

завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru .

У порожнечі завдання на самостійну роботу - student2.ru , тоді завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Контрольні питання:

1. Області задання стаціонарного рівняння, а також рівняння коливань та рівняння теплопровідності.

2. Граничні умови стаціонарного рівняння.

3. Граничні та початкові умови для гіперболічних та параболічних рівнянь.

4. Задача Дирихлє.

5. Задача Неймана.

Практичні заняття 6-8.

Тема:Методи розв’язання дифференціальних рівняннь математичної фізики. Метод Даламбера. Метод Рімана.

Стислий зміст:Знаходження рішень задач Гурса для рівнянь гіперболічного типу з даними на характеристиках. Побудова функцій Рімана та знаходження розв’язку рівнянь гіперболічного типу.

Мета і задачі: Ознайомлення з загальними методами інтегрування рівнянь гіперболічного типу.

При дослідженні задач, пов’язаних з більш загальним гіперболічним рівнянням другого порядку:

завдання на самостійну роботу - student2.ru , (6)

де завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru , завдання на самостійну роботу - student2.ru - функції незалежних змінних, важливими є інтегральні формули, що встановлюють зв'язок між інтегралом по області з інтегралом по межі цієї області.

Ліву частину останнього рівняння завдання на самостійну роботу - student2.ru називають лінійним диференціальним оператором другого порядку, а диференціальний оператор

завдання на самостійну роботу - student2.ru

- спряженим з оператором завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Розглянемо рівняння

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Оператором, спряженим до завдання на самостійну роботу - student2.ru , в оператор

завдання на самостійну роботу - student2.ru .

Наши рекомендации