Функция нескольких переменных.

Тема : Функция нескольких переменных.

Факт исходный для мат.анализа – всякий реальный процесс описывают несколько переменных величин и они взаимозависимы. Простейший случай: зависимость двух величин – аргумента и функции. Более сложный случай – зависимость одной величины сразу от нескольких аргументов, что приводит к понятию функции нескольких переменных (ФНП) y = f(x1, x2, . . . , xn).

Набор из n величин (x1, x2, . . . , xn)можно отождествить с точкой n – мерного линейного пространства Rn. R2 –точки плоскости,R3 -точки трехмерного пространства

Опр.Функцией n – переменных y = f(x1, x2, . . . , xn),определенных на множестве D Ì Rnи принимающей значения на множестве Y Ì R,наз. правило соответствия между элементами множеств DиY, при котором для любой точки(x1, x2, . . . , xn)Î Dсуществует единственный элемент yÎ Y.

Функция нескольких переменных. - student2.ru Множество D наз. областью определения (ООФ), Y –областью значений функции. Так, функция двух переменных z = f(x,y) : (x.y)Î D Ì R2, z Î Z Ì R.Переменные x, y, zможно понимать как координаты трехмерного пространства, тогда графиком функции z = f(x,y)является однослойная поверхность в пространстве.

Пр.1 Функция нескольких переменных. - student2.ru ,

D: 9 – x2 – y2 > 0 , x2 + y2 < 32 -круг радиуса 3

Z:верхняя полусфера R = 3

Для изучения характера изменения такой функции удобно рассматривать линии уровня заданные уравнением f(x,y) = с. При движении вдоль такой линии значение функции сохраняется. Пр.1 уравнение x2 + y2 = сопределяет семейство окружностей.

Для функции трех переменных u = f(x,y,z)ООФ есть множество точек пространства или некоторое тело в нем. Наглядно изобразить функцию уже не удается, но в ООФ можно выделить поверхности уровня, которым соответствует постоянное значение функции f(x,y,z) = с.

Пр.2 u = Функция нескольких переменных. - student2.ru , D: x2 + y2 + z2 < 1- шар R = 1 с центром в О(0,0,0)

Функции двух переменных.

Изучать ФНП удобно на примере двух переменных, в силу их геометрической наглядности, и полученные результаты обобщить на произвольное n .

Функция нескольких переменных. - student2.ru ООФ z = f(x,y)задается на плоскости D Ì R2и может быть ограничена некоторой кривой L , которая наз. границей области Dи обозначается ¶D. Если область Dограничена замкнутой и не самопересекающейся линией, то она наз. односвязной. Если Dограничивают несколько замкнутых линий, то наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть точка или линия. Точки (x,y) ,принадлежащие D ,но не ¶Dназ. внутренними, а точки принадлежащие границе граничными. Область Dназ. открытой, если содержит только внутренние точки, и наз. замкнутой (D) , если включает и внутренние и внешние точки. Круг радиуса d вокруг точки М наз. d-окрестностью этой точки.

Предел и непрерывность ФНП.

Опр.Пределом функции z = f(x,y)при стремлении т. М(х,у) к т. М000) наз. число Атакое, что разность между ним и значением функции f(x,y)делается б.м.в. при М®М0

lim [f(x.y) – A] = 0или lim f(x,y) = Aпри М ® М0 ( 1 )

Достаточное условие существования функции в точке(по Коши).

Пусть точкам M(x,y)из некоторой d-окрестности точки М0соответствуют значения z из e-окрестности точки А. В том случае, если между границами этих окрестностей существует четкая связь d = d(e) , то сжатие круга вокруг точки М0автоматически приводит к сжатию интервала вокруг точки Аи предельный процесс М ® М0влечет за собой предельный процесс z ® A. Таким образом, для установления факта существования предела функции z ® Aдостаточно убедится в существовании зависимости между e > 0 и d>0 , при которой выполняются неравенства:

если |M0M| < d , то |f(x,y) – A| < e.( 2 )

Теоремы о пределах функции одной переменной справедливы и для ФНП. Предел от константы равен константе. Предел от суммы, произведения, частного двух функций равен сумме, произведению, отношению пределов и т.д.

Опр.Функция z = f(x,y)наз. непрерывной в точке М000), если она определена и в ее окрестности и предел функции при М ® М0равен значению функции в точке М0 :

lim f(x,y) = f(x0,y0)при М ® М0 ( 3 )

Опр. Функция z = f(x,y)наз. непрерывной на некотором множестве E Ì D,если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Опр.Точка М000)наз. точкой разрыва, если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии.

Пр. z = xy / (x – y) . y = x -линия разрыва.

Частные приращения и частные производные.

Опр.Частным приращением функции z = f(x,y)по хназ. разность

Dхz = f(x+Dx,y) – f(x,y),частным приращением по y - Dyz = f(x,y+Dy) – f(x,y) .

Опр.Частной производной по х от функции z = f(x,y)наз. предел отношения частного приращения Dхzк приращению Dхпри стремлении его к нулю :

z`x = ¶z / ¶x = lim Dхz / Dxпри Dx ® 0( 4 )

Аналогично для переменной y : z`y = ¶z / ¶y = lim Dyz / Dпри Dy ® 0

Произведения z`xdxиz`ydyназ. частными дифференциалами. Частные приращения и частные производные для функций с произвольным числом аргументов определяются аналогичным образом.

Правила вычисления частных производных : частная производная от z = f(x,y)по х есть обычная производная по х условии y = const.При вычислении частной производной по y , наоборот, x = const.

Геометрический смысл частных производных. Условие y = constпри вычислении z`x

Функция нескольких переменных. - student2.ru означает, что производится сечение поверхности z = f(x,y)плоскостью y = y0^ оси Оу, которое дает плоскую кривую z = f(x,y0) . Таким образом, производная z`xопределяет скорость изменения функции вдоль этой кривой или тангенс угла наклона касательной к ней. Производная z`yсвязана с сечением поверхности ^ оси Ох (x = x0).

Полное приращение и полный дифференциал

Опр.Полным приращением функции z = f(x,y)наз. результат одновременного изменения всех аргументов, т.е. разность Функция нескольких переменных. - student2.ru z = f(x+ Функция нескольких переменных. - student2.ru x, y+ Функция нескольких переменных. - student2.ru y) – f(x,y).

Полное приращение не является простой суммой частных приращений и может содержать Функция нескольких переменных. - student2.ruФункция нескольких переменных. - student2.ru yкак в первой, так и в более высоких степенях.

Пр. z = xy. Функция нескольких переменных. - student2.ru х z = y Функция нескольких переменных. - student2.ru x , Функция нескольких переменных. - student2.ru y z = x Функция нескольких переменных. - student2.ru y , Функция нескольких переменных. - student2.ru z = Функция нескольких переменных. - student2.ru х z + Функция нескольких переменных. - student2.ru y z + Функция нескольких переменных. - student2.ru x Функция нескольких переменных. - student2.ru y

По определению, дифференциалом функции одной переменной y = f(x)является главная часть приращения функции, линейная по Функция нескольких переменных. - student2.ru x : Функция нескольких переменных. - student2.ru y = А Функция нескольких переменных. - student2.ru x + Функция нескольких переменных. - student2.ru ( Функция нескольких переменных. - student2.ru x).Причем,

dy = А Функция нескольких переменных. - student2.ru x = f (x) dx ,а Функция нескольких переменных. - student2.ru ( Функция нескольких переменных. - student2.ru x)– более высокого порядка малости по Функция нескольких переменных. - student2.ru x.

Наши рекомендации